Chapitre 14. Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

Définition (Somme et produit d’une famille finie de nombres réels) Soit \left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n;
La notation \sum_{i=1}^n a_i désigne la somme a_1+a_2+\cdots+a_n et se lit somme des a_i pour i allant de 1 à n.
La notation \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{i, j} désigne la double somme qui est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.
La notation \prod_{i=1}^n a_i désigne le produit a_1 a_2 \ldots a_n et se lit produit des a_i pour i allant de 1 à n.
La notation \prod_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{i, j} désigne le double produit qui est le produit de produits.Théorème Pour tout entier n \geq 1, on a :Théorème Soit x un nombre réel différent de 0 et de 1 et soient p et q des entiers relatifs tels que p \leq q. Alors on a:
On généralise l’identité remarquable a^2-b^2=(a+b)(a-b).Théorème (Factorisation) Pour tout entier n,Définition (Factorielle) Étant donné un entier positif n, on note n ! et on lit factorielle n, le nombre obtenu par le produit de tous les nombres entiers de 1 à n.
De même (n+1)!=(n+1) \times n!.
si m<n, on a
Par convention 0!=1.Remarque 14.1 Dans toute la suite p \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} et p \leq n.Définition (Coefficient binomial) Le coefficient binomial s’écrit sous la forme \binom{n}{p} et est égal à :Théorème (Formule du binôme dans \mathbb{R}) Soient a, b \in \mathbb{R} et n un entier positif alors:
Le théorème est aussi vrai si a et b sont des nombres complexes…