Chapitre 15. Nombres complexes

Définition (Parties réelle et imaginaire) Soit z=(x, y) \in \mathbb{C}. Le réel x est appelé la partie réelle de z et noté \operatorname{Re}(z); de même, le réel y est appelé la partie imaginaire de z et noté \operatorname{Im}(z).Définition (Forme algébrique d’un nombre complexe) Soit z \in \mathbb{C}. Il existe un couple unique (x, y) de réels tels que z=x+\mathrm{i} y. On a en fait x=\operatorname{Re}(z) et y=\operatorname{Im}(z).
On a le résultat suivant : pour tous z, z^{\prime} \in \mathbb{C} z=z^{\prime} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) et \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).Théorème (Opérations sur les complexes) Si z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes:
addition : z+z^{\prime}=\left(x+x^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(y+y^{\prime}\right).
multiplication : z \times z^{\prime}=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right).
inverse d’un complexe: \frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}+\mathrm{i} \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-\mathrm{i} y}{x^2+y^2}
division : \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}.Définition (Conjugué d’un complexe) Soit z \in \mathbb{C}. On appelle conjugué de z, noté \bar{z}, le nombre complexe Re(z)-iIm(z).Théorème (Compatibilité avec les opérations) Pour tous z, z^{\prime} \in \mathbb{C} :\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}, \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 \mathrm{i}…