Chapitre 16. Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs

Définition (Divisibilité) Soient a, b \in \mathbb{Z}. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a, s’il existe k \in \mathbb{Z} tel que b=a k; cette relation entre a et b se note a \mid b.Théorème (Proriétés de la divisibilité) Soient a, b, c, d \in \mathbb{Z}.(i) La relation de divisibilité \mid sur \mathbb{Z} est réflexive et transitive; elle n’est cependant pas antisymétrique puisque:
En revanche, sa restriction à \mathbb{N} l’est, c’est une relation d’ordre.(ii) Combinaisons linéaires: si d \mid a et si d \mid b, alors d \mid(a u+b v) pour tous u, v \in \mathbb{Z}.(iii) Si a \mid b et si c \mid d, alors a c \mid b d. En particulier, si a \mid b, alors a^k \mid b^k pour tout k \in \mathbb{N}.(iv) Si d \neq 0 alors a|b \leftrightarrow a d| b d.Théorème (Division euclidienne) Soient a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{N}^*. Il existe un unique couple (q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} tel que:a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. De plus q et r sont uniques.Définition (Diviseur commun) Soient a, b \in \mathbb{Z}.
On appelle diviseur commun de a et de b tout entier d \in \mathbb{Z} qui est à la fois un diviseur de a et un diviseur de b.Définition (PGCD) Soient a, b \in \mathbb{Z} deux entiers, non tous les deux nuls. Le plus grand entier qui divise à la fois a et b s’appelle le plus grand diviseur commun de a, b et se note a \wedge bUn PGCD de deux entiers existe-t-il toujours? si oui, est-il unique…