9. Processus aléatoires

Un système est à évolution aléatoire s’il peut prendre au cours du temps une série d’états successifs, sans qu’il soit possible d’en prévoir sa configuration exacte à un instant futur ; son évolution au cours du temps dépend donc du hasard. En d’autres termes, ces situations ne peuvent pas être étudiées en utilisant simplement le calcul des probabilités qui décrit des événements où le résultat possible de chaque épreuve est un nombre.
L’étude de ces systèmes évoluant d’une manière aléatoire avec le temps et présentant parfois un caractère périodique est un vaste sujet. Ces systèmes ont été étudiés par Markov (1906), qui a fait l’hypothèse que le passé et le futur étaient indépendants étant donné le présent (voir processus et chaînes de Markov, paragraphe 9.10). Puis les bases théoriques et mathématiques ont été formulées par Paul Lévy (1931), Doob (1933) après que Kolmogorov eut élaboré la théorie mathématique du calcul des probabilités, résultant elle-même de la théorie de l’intégration. Ils ont des applications dans de nombreux domaines, en économie, en recherche opérationnelle, et peuvent intervenir dans l’étude de problèmes plus spécifiquement physiques. Donnons quelques exemples :
l’état de la fortune d’un joueur dans un jeu de hasard,
le débit journalier d’une rivière,
en recherche opérationnelle, les problèmes de file d’attente, les arrivées de clients dans un service, le stock de pièces détachées dans un atelier,
l’évolution démographique d’une population…