Chapitre 4. Les suites numériques convergentes

Il existe une suite \begin{equation} \left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{equation} qui énumère tous les rationnels.
□ a. Vrai□ b. FauxIl existe une suite \begin{equation} \left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{equation} qui énumère tous les réels.
□ a. Vrai
□ b. FauxQuelle est la limite de la suite de terme général (-1)n ?
□ a. 1
□ b. 0
□ c. -1
□ d. Aucune de ces réponsesQuelle est la limite de la suite de terme général \begin{equation} \frac{(-1)^n}{n} \end{equation} ?
□ a. 1
□ b. 0
□ c. -1
□ d. Aucune de ces réponsesLa suite définie par \begin{equation} u_n≔\sum_{k=0}^n(-1)^k \times 10^{-k} \end{equation} converge vers une limite ℓ.
□ a. ℓ = 0,9
□ b. ℓ = 0,999 999…
□ c. ℓ = 0,90 90 90…
□ d. ℓ = 0,91 91 91…Réponses p. 204Dans ce chapitre nous introduisons la notion rigoureuse de limite d’une suite. Une suite numérique est simplement une fonction ℕ → ℝ, c’est-à-dire un moyen de numéroter certains nombres réels, par exemple pour fournir des approximations de plus en plus fine d’un nombre réel : les cercles de Ford représentés ici illustrent l’approximation de \begin{equation} \sqrt{2} \end{equation} par la suite de nombres rationnels \begin{equation} 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{53}{41}, \end{equation} etc. L’idée intuitive de convergence a été pressentie très tôt dans l’histoire des mathématiques. Cette approche informelle a conduit à de nombreux paradoxes, le plus connu étant probablement celui d’Achille et la tortue, formulé par …