Ce chapitre définit les notions fondamentales de la topologie sur un espace métrique. Il devra être tout entier connu.
Le paragraphe 1 définit les ouverts, et en donne les propriétés fondamentales, (2, II, 1 ; 1). Il indique aussi l’axiome de séparation de Hausdorff, (2, II, 1 ; 2).
Le paragraphe 2 définit les fermés comme complémentaires des ouverts, et en donne les propriétés fondamentales (2, II, 2; 1).
Le paragraphe 3 définit les voisinages, et donne leurs propriétés fondamentales, (2, II, 3; 1). Contrairement à ce qui se fait souvent, nous ne cherchons pas à donner toutes les propriétés vérifiées par les voisinages, ce qui, ensuite, ne nous permettra pas de définir une topologie par les voisinages ; il nous semble en effet qu’on peut s’en passer. Le théorème (T. 2, II, 3; 1) est essentiel ; on définit la notion de système fondamental de voisinages.
Le paragraphe 4 définit l’intérieur d’un ensemble, le paragraphe 5 son extérieur, le paragraphe 6 sa frontière, avec le théorème fondamental (T. 2, II, 6; 1), le paragraphe 7 l’adhérence, avec le théorème fondamental (T. 2, II, 7; 1). Les théorèmes complémentaires (T. 2, II, 4 ; 1) et (T. 2, II, 7; 2) sont d’un usage courant.
Le paragraphe 8 définit les ensembles denses.
Le paragraphe 9 donne la métrique induite sur un sous-ensemble, et le théorème (T. 2, II, 9; 1) est celui qui permettra de définir un sous-espace topologique d’un espace topologique au chapitre suivant. Le théorème (T. 2, II, 9; 2) est d’un usage courant…