1 Nous abordons cette notion dans le cadre des sous-ensembles d’un espace affine normé de dimension N, ce qui nous amène à parler de sous-variété et nous définirons ensuite la notion de variété abstraite.

Définition d’une sous-variété par expression de certaines coordonnées comme fonctions des autres.

2 Nous avons vu, à la définition 3.3.5, que l’ensemble \(\mathcal{C}\) du produit d’espaces affines \(\mathcal{E}\) × \(\mathcal{F}\) défini par une équation y = f(x), s’appelle une sous-variété différentiable, si f est une fonction dérivable. Il s’appelle une sous-variété m fois différentiable si f est m fois dérivable, sous-variété continûment différentiable ou m fois continûment différentiable si f est continûment dérivable ou m fois continûment dérivable, sous-variété indéfiniment différentiable si f est indéfiniment dérivable; on dit aussi sous-variété de classe C^m au lieu de dire sous-variété m fois continûment différentiable et sous-variété de classe C^∞ au lieu de sous-variété indéfiniment différentiable. Ce sont ces sous-variétés de classe C^m et C^∞ qui sont utilisées.

3 Si m = 0, on a affaire à ce qu’on appelle sous-variété topologique, définie seulement par une équation y = f(x), où f est une fonction continue. Les sous-variétés topologiques ont aussi un rôle très important, mais nous nous bornerons uniquement à étudier les sous-variétés de classe C^m pour m ≥ 1. Il est bien évident que les exemples de sous-variétés ainsi donnés ne sont pas les plus généraux; ainsi il est normal de considérer que, dans un espace euclidien affine de dimension N, une sphère est sous-une variété indéfiniment différentiable de dimension N – 1; cependant cet espace affine n’est pas donné comme un produit, et, si on prend un système de coordonnées dans cet espace affine, on ne peut pas représenter la sphère toute entière en exprimant l’une des coordonnées comme fonction indéfiniment dérivable des autres [1]; on sera obligé de partager la sphère en régions suffisamment petites, et, dans chacune de ces régions, l’une des coordonnées, convenablement choisie, pourra s’exprimer comme fonction indéfiniment dérivable des autres. Ceci va nous mener au concept général des sous-variétés de classe C^m.

4 Définition 3.9.1. - Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine sut le corps K des nombres réels ou des complexes, de dimension N; soit Σ un ensemble de \(\mathcal{E}\). On dit que Σ est une sous-variété de dimension n, de classe C^m, si, quel que soit le point a de V, il existe un référentiel de \(\mathcal{E}\), soit {o, e₁, e₂, . . . , e_N}, un ouvert \(\mathcal{B}\) du sous-espace desn premiers axes de coordonnées, un système de N – n fonctions G_k, k = 1, 2, . . . , N – n, de classe C^m, définies sur \(\mathcal{B}\) à valeurs scalaires, et un ouvert \(\mathcal{V}\) de \(\mathcal{E}\) contenant a, dont la projection sur le sous-espace des n premiers axes de coordonnées soit \(\mathcal{B}\), tels que l’intersection Σ ∩ \(\mathcal{V}\) soit exactement l’ensemble des points x = (x₁, x₂, . . . , x_n) de \(\mathcal{E}\) vérifiant les équations [2]

5 Ainsi, dans \(\mathcal{V}\), les N – n coordonnées x_n+1, x_n+2, . . . , x_N, sur la sous-variété Σ, s’expriment comme fonctions de classe C^m des n premières coordonnées x₁, x₂, . . . , . . . x_n, qu’on peut choisir arbitrairement dans \(\mathcal{B}\). (on pourrait s’étonner de ce rôle particulier joué par les n pemières coordonnées; il n’est pas étonnant, puisque pour le point a considéré de Σ, nous nous sommes permis de choisir un référentiel de ∈; si donc n des coordonnées jouent un rôle particulier, on peut toujours, par un changement d’ordre des vecteurs du référentiel, se ramener au cas commode où ce sont les n premières).

6 Nous verrons au corollaire 3.9.4, une définition équivalente, dans laquelle au contraire les n premières coordonnées ne jouent pas de rôle particulier, parce qu’on a choisi une fois pour toutes un même référentiel de \(\mathcal{E}\).

7 On peut encore dire que la séparation, dans le système des N coordonnées, d’un côté des n premières, de l’autre des N – n suivantes, identifie \(\mathcal{E}\) au produit Kⁿ × K^N–n, et que, si l’on appelle, g l’application de l’ouvert \(\mathcal{B}\) de Kⁿ dans K^N–n, définie par (3.9.1), alors g est de classe C^m et l’ensemble Σ ∩ \(\mathcal{V}\) est exactement l’ensemble des points x = (y, z) de \(\mathcal{E}\) = Kⁿ × K^N–n, vérifiant l’équation z = g(y).

8 Nous retrouvons ainsi la situation particulière introduite dans la définition 3.3.5, mais, au voisinage du point a, nous nous sommes permis de choisir un référentiel particulier, amenant à cette situation particulière.

Définition d’une sous-variété par une représentation paramétrique.

9 Définition 3.9.2. - Soit Σ un ensemble d’un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N. On appelle représentation paramétrique vraie de Σ de classe C^m, de dimension n, une application

10 d’un ouvert\(\mathcal{O}\) de Kⁿ dans \(\mathcal{E}\) ayant les propriétés suivantes :

12 sont n vecteurs linéairement indépendants de E; ou encore, l’un au moins des déterminants d’ordre n de la matrice dérivée :

13 est non nul.

14 On se doute évidemment que les sous-variétés, de dimension n et de classe C^m de \(\mathcal{E}\), sont les seuls ensembles à pouvoir admettre de telles représentations paramétriques. Par contre, il est bien évident qu’une sous-variété n’admettra pas, en général, de telles représentations paramétriques; cela impliquerait en effet qu’elle soit homéomorphe à un ouvert de Kⁿ, or l’exemple de la sphère, qui est compacte, montre qu’une sous-variété ne peut être, en général, homéomorphe à un ouvert de Kⁿ; ce sont seulement, encore une fois, des régions suffisamment petites de la sous-variété, qui pourront admettre de telles représentations paramétriques.

15 Bien entendu, la donnée de Φ contient celle de l’ouvert \(\mathcal{O}\) de Kⁿ et de son image Φ(\(\mathcal{O}\)) dans Φ; mais on l’indique souvent par : Φ : \(\mathcal{O}\) ↦ Φ(\(\mathcal{O}\)).

16 Théorème 3.9.3. - Pour qu’un ensemble Σ d’un espace affine normé ∈ de dimension N soit une variété de classe C^m, de dimension n, il faut et il suffit que, pour tout point a de Σ, il existe un voisinage ouvert \(\mathcal{V}\) dea dans \(\mathcal{E}\), tel que l’intersection \(\mathcal{V}\) ∩ Σ admette une représentation paramétrique vraie, de dimension n et de classe C^m.

17 Démonstration : 1°/ Supposons que Σ soit une variété de dimension n et de classe C^m. Soit a un point de Σ. Si alors on détermine les ouverts \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{V}\), comme il a été fait dans la définition 3.9.1, il suffit de prendre \(\mathcal{O}\) = \(\mathcal{B}\), et de définir l’application Φ : u ↦ x = Φ(u), à partir des fonctions G_k de (3.9.1), par

18 pour avoir une représentation paramétrique du type cherché; c’est ici le déterminant jacobien

19 qui est sûrement non nul [3].

20 2° / Inversement, supposons que Σ soit un ensemble de \(\mathcal{E}\) vérifiant les propriétés de l’énoncé. Montrons que Σ est une variété de classe C^m. Soient a un point de Σ, Φ une représentation paramétrique vraie, homéomorphismed’ un ouvert \(\mathcal{O}\) de Kⁿ sur un voisinage de a dans Σ. Choisissons arbitrairement un référentiel de \(\mathcal{E}\). Alors l’application Φ possède, au point α = Φ^–1(a), une matrice dérivée, par rapport aux référentiels de Kⁿ et de \(\mathcal{E}\); cette matrice dérivée, par hypothèse, est de rang n, et l’un au moins de ses déterminants à n lignes et n colonnes est non nul.

21 En changeant au besoin l’ordre des vecteurs de la base de E, nous pouvons supposer que c’est le déterminant jacobien

22 Le référentiel ainsi formé dans \(\mathcal{E}\) l’identifie à et la distinction du système des n premières coordonnées et des N – n dernières l’identifie au produit Kⁿ × K^N–n. C’est pourquoi nous représenterons tout point x de \(\mathcal{E}\) comme un couple (y, z), y ∈ Kⁿ, z ∈ K^N–n; soit a = (b, c). L’application Φ devient alors une application de l’ouvert \(\mathcal{O}\) dans le produit Kⁿ × K^N–n et se décompose par suite en un système de deux applications X, Ψ, de \(\mathcal{O}\) dans Kⁿ, et K^N–n respectivement, à savoir y – X(u), z = Ψ(u). Mais alors le déterminant jacobien de l’application X de l’ouvert \(\mathcal{O}\) ⊂ Kⁿ dans Kⁿ au point α est non nul. D’après le théorème 3.8.7, il existe donc un ouvert \(\mathcal{A}\) contenant α dans \(\mathcal{O}\), et un ouvert \(\mathcal{B}\) contenant b dans Kⁿ, tel que X soit un homéomorphisme de \(\mathcal{A}\) sur \(\mathcal{B}\), continûment dérivable, ainsi que son homéomophisme réciproque; en outre, X est de classe C^m, et le corollaire 3.8.16 indique que son homéomorphisme réciproque est aussi de classe C^m. Désignons par X^–1 cet homéomorphisme réciproque, de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\). L’image de \(\mathcal{A}\) par Φ est alors un ouvert de Σ, puisque Φ est supposée être un homéomorphisme de \(\mathcal{O}\) sur son image, et que celle-ci est ouverte dans \(\mathcal{E}\). Il existe donc un voisinage ouvert \(\mathcal{V}\) du point a dans \(\mathcal{E}\), tel que Φ(\(\mathcal{A}\)) = \(\mathcal{V}\) ∩ Σ. Comme Φ(\(\mathcal{A}\)) se projette sur Kⁿ suivant \(\mathcal{B}\), on peut supposer que \(\mathcal{V}\) aussi se projette suivant \(\mathcal{B}\) (sans quoi on le remplacerait par son intersection avec l’ouvert

23 Alors, pour qu’un point x = (y, z) appartienne à Σ ∩ \(\mathcal{V}\), il faut et il suffit qu’il soit l’image par Φ d’un point de \(\mathcal{A}\), c’est-à-dire que y ∈ \(\mathcal{B}\), et que z soit reliée à y par la formule

24 Cette application composée g = Ψ o X^–1 de deux applications de classe C^m est elle-même de classe C^m d’après le théorème 3.6.9; nous voyons bien que nous avons pu trouver un voisinage \(\mathcal{V}\) de a, et un référentiel de \(\mathcal{E}\), tels que l’intersection \(\mathcal{V}\) ∩ Σ puisse se représenter par une équation z = g(y), où g est une application de classe C^m de \(\mathcal{B}\) dans \(\mathcal{E}\). Ceci étant vrai pour tout a de Σ, Σ est bien une variété de dimension n et de classe C^m.

25 Nous avons en même temps démontré que, si l’on a choisi au préalable un référentiel quelconque de \(\mathcal{E}\), alors, pour tout a de Σ, pour obtenir un référentiel vérifiant les propriétés de la définition d’une variété, il suffit de changer convenablement l’ordre des vecteurs de base de \(\mathcal{E}\); ce changement dépendant évidemment de a.

26 On peut donc énoncer :

27 Corollaire 3.9.4. - Soit Σ un ensemble d’un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N. Pour que Σ soit une sous-variété de dimension n et de classe C^m, il faut et il suffit que, un référentiel de \(\mathcal{E}\) étant choisi arbitrairement une fois pour toutes, alors, pour tout point a de Σ il existe une permutation σ de l’ensemble 1, 2, . . . , N, un ouvert \(\mathcal{B}\) du sous-espace engendré par l’origine et les vecteurs de base \(e_{\sigma_1}, e_{\sigma_2}, \ldots, e_{\sigma_n}\), et un ouvert \(\mathcal{V}\) de \(\mathcal{E}\), contenant a, dont la projection sur le sous-espace précédent soit \(\mathcal{B}\), enfìn un système de N – n fonctions scalaires G_k, k = 1, 2, . . . , N – n de classe C^m, définies sur \(\mathcal{B}\), de telle manière que l’intersection \(\mathcal{V}\) ∩ Σ soit définie par les équations :

28 Corollaire 3.9.5. - Soient \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\), deux espaces affines de même dimension finie, H un difféomorphisme de classe C^m d’un ouvert U de \(\mathcal{E}\) sur un ouvert H(U) de \(\mathcal{F}\). Alors, si Σ est une sous-variété de dimension n et de classe C^m de U, son image H(Σ) est une sous-variété de dimension n et de classe C^m.

29 Ce corollaire exprime que les sous-variétés de classe C^m se conservent par difféomorphisme de classe C^m.

30 Démonstration : - Soit Φ : \(\mathcal{O}\) ↦ Φ(\(\mathcal{O}\)), une représentation paramétrique vraie d’un ouvert Φ(\(\mathcal{O}\)) de Φ. Alors H o Φ est un homéomorphisme de \(\mathcal{O}\) sur H(Φ(\(\mathcal{O}\))); c’est une application de classe C^m de \(\mathcal{O}\) dans \(\mathcal{F}\); si α ∈ \(\mathcal{O}\), (H o Φ)′(α) = H′(Φ(α) o Φ′(α) est de rang n, parce que Φ′(α) est de rang n et que H′(Φ(α)) est une bijection linéaire (corollaire 3.4.5 appliqué à H). Donc H o Φ est une représentation paramétrique vraie, de dimension n et de classe C^m. Il existe des représentations telles que Φ dont les images forment un recouvrement de Σ, donc les images des H o Φ forment un recouvrement de H(Σ), et le corollaire est démontré.

31 Corollaire 3.9.6. - Pour qu’un ensemble Σ d’une espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N soit une sous-variété de dimension n et de classe C^m, il fautât il suffit que, pour tout a de Σ il existe un C^m-difféomorphisme \(\tilde{\Phi}\) d’un ouvert \(\tilde{\mathcal{O}}\) de K^N sur un voisinage \(\mathcal{V}\) de a dans \(\mathcal{E}\), tel que \(\mathcal{V}\) ∩ Σ soit l’image par \(\tilde{\Phi}\) de l’intersecton de \(\tilde{\mathcal{O}}\) et du sous-espace vectoriel K^N engendré par les n premiers vecteurs de base de K^N.

32 Ce corollaire exprime que, localement, on peut amener par un C^m difféomorphisme, une sous-variété de classe C^m et de dimension n de \(\mathcal{E}\) à devenir un sous-espace vectoriel de dimension n de K^N.

33 Démonstration : 1°/ Supposons d’abord que Σ possède la propriété énoncée. En tout point a \(\alpha \in \tilde{\Phi}^{-1}(\Sigma)\), la dérivée \(\tilde{\Phi}^{\prime}(\alpha)\) est une bijection linéaire de sur E (corollaire 3.4.5); donc elle est injective, ainsi que sa restriction au sous-espace Kⁿ considéré, qui est par conséquent de rang n. Alors la restriction Φ de \(\tilde{\Phi}\) à \(\mathcal{O}=\tilde{\mathcal{O}} \cap \mathbf{K}^n\) est une représentation paramétrique vraie de dimension n et de classe C^m, et comme chaque point de Σ a un voisinage ayant une telle représentation paramétrique, Σ est bien une variété de dimension n et de classe C^m.

34 2° / Réciproquement, soit Σ une sous-variété de dimension n et de classe C^m. d’après la définition, si a ∈ Σ, il existe un référentiel de \(\mathcal{E}\) et un voisinage \(\mathcal{V}\) de a dans \(\mathcal{E}\), dans lequel Σ peut se définir par (3.9.1). Appelons \(\mathcal{B}\)* l’ouvert de K^N, formé des points dont les n premières coordonnées définissent un point de \(\mathcal{B}\) :

35 Alors les formules :

36 définissent une application \(\tilde{\Phi}\) de \(\mathcal{B}\)* dans K^N identifié à \(\mathcal{E}\); on a \(\tilde{\Phi}\left(\mathcal{B}^*\right)=\mathcal{B}^*\), et \(\tilde{\Phi}\) est une bijection, de bijection réciproque \(\tilde{\Phi}^{-1}\) définie par :

37 \(\tilde{\Phi}\) et \(\tilde{\Phi}^{-1}\) sont tous deux de classe C^m; donc \(\tilde{\Phi}\) est un homéomorphisme de classe C^m ainsi que son homéomorphisme réciproque. Si on appelle \(\tilde{\mathcal{O}}\) l’image réciproque de \(\tilde{\Phi}^{-1}(\mathcal{V})\), c’est un ouvert de K^N, et \(\tilde{\Phi}\) restreinte à \(\tilde{\mathcal{O}}\), a les mêmes propriétés; mais alors Σ ∩ \(\mathcal{V}\) est défini par (3.9.1) et par suite est l’image par \(\tilde{\Phi}\) du sous-espace u_n+k = 0, k = 1, 2, . . . , N – n, ce qui démontre le corollaire.

38 Il résulte de la démonstration du théorème 3.9.3 que, si nous considérons l’appplication Θ : (y, z) ↦ X^–1(y), c’est une application de \(\mathcal{V}\) dans \(\mathcal{A}\), dont la restriction à la variété \(\mathcal{V}\)∩Σ est aussi la restriction de l’homéomorphisme réciproque Φ^–1 de Φ. On peut donc énoncer :

39 Théorème 3.9.7. - Si Φ : \(\mathcal{O}\) ↦ Φ(\(\mathcal{O}\)), est une représentation paramétrique vraie, de dimension n et de classe C^m, d’un ouvert d’une sous-variété Σ de \(\mathcal{E}\), et si Φ(α) = a, alors il existe un ouvert \(\mathcal{V}\) de \(\mathcal{E}\) contenant a, Σ ∩ \(\mathcal{V}\) = Σ(\(\mathcal{A}\)), et enfin une application Θ de classe C^m de \(\mathcal{V}\) dans \(\mathcal{A}\), dont la restriction à Σ ∩ \(\mathcal{V}\) coïncide avec la restriction de l’homéomorphisme réciproque de Φ, en particulier, on a dans \(\mathcal{A}\) : Θ o Φ = I.

40 Mais naturellement, on n’a pas Φ o Θ = I, puisque, si l’on part d’un point de \(\mathcal{V}\) qui n’appartient pas à Σ, son image par Θ est dans \(\mathcal{A}\), et par suite l’image par Φ est nécessairement dans Σ, donc distincte du point initial. On peut dire au contraire que l’application Φ o Θ, qui est l’application (y, z) ↦ (y, g(y)) de \(\mathcal{V}\) sur \(\mathcal{V}\) ∩ Σ, est une sorte de “projection de \(\mathcal{V}\) sur \(\mathcal{V}\) ∩ Σ”.

41 Corollaire 3.9.8. - Soient Φ₁ et Φ₂ deux représentations paramétriques vraies de classe C^m du même ouvert \(\mathcal{V}\) ∩ Σ d’une sous-variété Σ de \(\mathcal{E}\). Soient \(\mathcal{O}\)₁ et \(\mathcal{O}\)₂ les ouverts de définition de Φ₁ et Φ₂ de sorte que \(\Phi_1\left(\mathcal{O}_1\right)=\Phi_2\left(\mathcal{O}_2\right)\). Si on appelle \(\Phi_2^{-1}\) l’homéomorphisme réciproque de Φ₂, application de \(\mathcal{V}\) ∩ Σ dans \(\mathcal{O}\)₂, alors l’application \(\Phi_2^{-1} o \Phi_1\), de \(\mathcal{O}\)₁ sur \(\mathcal{O}\)₂, est un homéomorphisme de classe C^m, ainsi que son homéomorphisme réciproque \(\Phi_1^{-1} o \Phi_2\).

42 Démonstration : - Soit α₁ ∈ \(\mathcal{O}\)₁, Φ₁(α₁) = a. Considérons les applications Θ₁ et Θ₂ définies par le théorème 3.9.7, sur deux voisinages \(\mathcal{V}\)₁ et \(\mathcal{V}\)₂ de a dans \(\mathcal{E}\). Soit \(\mathcal{V}_0=\mathcal{V}_1 \cap \mathcal{V}_2\). Appelons d’autre part \(\mathcal{A}_1^{\prime}\) et \(\mathcal{A}_2^{\prime}\) les images de \(\mathcal{V}\)₀ par Φ₁ et Φ₂. Alors, dans \(\mathcal{A}_1^{\prime}\), l’application \(\Phi_2^{-1} o \Phi_1\) coïncide avec l’appplication \(\Theta_2 o \Phi_1\), puisque pour \(u \in \mathcal{A}_1^{\prime}, \boldsymbol{\Phi}_1(u)\), Φ₁(u) est dans Σ ∩ \(\mathcal{V}\)₀, et que, sur \(\Sigma \cap \mathcal{V}_0 \subset \Sigma \cap \mathcal{V}_2, \Phi_2^{-1}\) coïncide avec Θ₂; par conséquent, comme composée de deux applications de classe C^m, elle est de classe C^m d’après le théorème 3.6.9 [4]. Ainsi tout point α₁ de \(\mathcal{O}\)₁ possède un voisinage où \(\Phi_2^{-1} o \Phi_1\) est de classe C^m, donc elle est de classe C^m sur \(\mathcal{O}\)₁.

43 Corollaire 3.9.9. - Si Σ est une sous-variété de dimension n, elle ne peut pas être une sous-variété de dimension n′ ≠ n.

44 Démonstration : - Supposons en effet que, pour un point a de Σ, on ait une représentation paramétrique vraie de dimension n d’un premier voisinage ouvert de a, et une représentation paramétrique vraie de dimension n′ d’un deuxième voisinage ouvert; alors on a, de leur intersection, 2 représentations paramétriques vraies différentes, de dimensions respectives n et n′. Mais le raisonnement que nous venons de faire au corollaire précédent, avec deux représentations paramétriques vraies, ne suppose nullement que les dimensions n et n′ soient égales. Comme \(\Phi_2^{-1} o \Phi_1\) doit être un C^m-difféomorphisme de \(\mathcal{O}\)₁ sur \(\mathcal{O}\)₂, le corollaire 3.4.5 montre que nécessairement les dimensions sont égales.

45 Par contre, bien entendu, une sous-variété de classe C^m est a fortiori une sous-variété de classe C^k, pour tout k ≤ m.

Définition d’une sous-variété par des équations implicites.

46 Théorème 3.9.10. - Pour qu’un ensemble Σ d’un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N soit une sous-variété de dimension n et de classe C^m, il faut et il suffit que, pour tout a de Σ, il existe un voisinage \(\mathcal{V}\) ouvert de a dans \(\mathcal{E}\), et un système de N – n fonctions scalaires F_k, k = 1, 2, . . . , N – n, définies sur \(\mathcal{V}\), de classe C^m, avec les propriétés suivantes :

48 On dit qu’un tel système d’équations est un système normal de N – n équations de Σ au voisinage de a.

49 Remarquons qu’on peut prendre n = N, alors il n’y a pas d’équation, et Σ est un ouvert de \(\mathcal{E}\).

50 On peut aussi prendre n = 0; alors il y a N équations, et, au voisinage de a, il n’y a pas d’autre solution que a lui-même; a est un point isolé de Σ, Σ est un ensemble de points isolés de \(\mathcal{E}\), variété de dimension 0.

51 Démonstration : 1°) Supposons que Σ soit une sous-variété. Si alors nous utilisons la définition, nous voyons bien que cette variété est définie par les équations F_k(x) = 0, où F_k est définie par :

52 Comme, au point a (ou en un point quelconque de \(\mathcal{V}\)), dF_k contient dx_n+k avec le coeficient 1, et aucun autre dx_n+j, j = 1, 2, . . . , N – n, les dF_k sont bien indépendantes.

53 2°) Supposons réciproquement que Σ soit un ensemble vérifiant les conditions de l’énoncé. Dire que le système des F′_k(a) est indépendant, c’est dire si nous choisissons un système de coordonnées dans \(\mathcal{E}\), l’un au moins des mineurs de rang N – n de la matrice des dérivées partielles est ≠ 0. Supposons, pour fixer les idées (et on peut toujours s’y ramener par un changement éventuel de l’ordre des vecteurs de la base de \(\mathcal{E}\)) que ce soit le déterminant jacobien

54 Posons alors, comme précédemment

55 de sorte qu’un point x de \(\mathcal{E}\) peut être identifié à un couple (y, z) de Kⁿ × K^{N – n}. L’ensemble des fonctions F_k peut alors être considéré comme définissant une fonction f sur Kⁿ × K^N–n à valeurs dans K^N–n, avec f(a) = f((b, c)) = 0. L’hypothèse relative au jacobien (3.9.8) revient exactement à dire que la dérivée partielle

56 de cette fonction est inversible. Le théorème des fonctions implicites (théorème 3.8.5) nous dit alors qu’il existe un voisinage \(\mathcal{B}\) de b dans Kⁿ et un voisinage \(\mathcal{C}\) de c dans K^N–n tel que \(\mathcal{B}\) × \(\mathcal{C}\) ⊂ \(\mathcal{V}\), et que l’équation f(y, z) = 0 admette une solution et une seule en z dans \(\mathcal{C}\), lorsque y est donné dans \(\mathcal{B}\). En outre, on définit ainsi une fonction implicite z = g(y), qui est une application continue de \(\mathcal{B}\) dans \(\mathcal{C}\). Le théorème 3.8.14 nous indique en outre que, f étant de classe C^m, g est aussi de classe C^m. Nous voyons bien que l’intersection de Σ avec \(\mathcal{B}\) × \(\mathcal{C}\) est exactement définie par l’équation z = g(y), et que, ceci étant valable pour tout a de Σ, Σ est bien une sous-variété de dimension n et de classe C^m.

57 Donnons une autre démonstration de ce 2°).- Appelons Ψ l’application de \(\mathcal{V}\) dans K^N définie par (x₁, x₂, . . . , x_N) ↦ (u₁, u₂, . . . , u_n) avec

58 en nous plaçant, comme dans la première démonstration, dans le cas où (3.9.8) est vérifiée.

59 Le déterminant jacobien de Ψ en a est non nul, parce qu’il est égal à celui de (3.9.8). Alors il existe un ouvert \(\mathcal{V}\)₁ ⊂ \(\mathcal{V}\), contenant a tel que la restriction de Ψ à \(\mathcal{V}\)₁ soit un homéomorphisme, de classe C^m ainsi que son homéomorphisme réciproque de Vi sur un ouvert \(\mathcal{A}\)₁ contenant Ψ(a) = α (théorème 3.8.7 et corollaire 3.8.16). Mais alors Φ est un C^m-difféomorphisme de \(\mathcal{A}\)₁ sur \(\mathcal{V}\)₁, et Σ∩\(\mathcal{V}\)₁ est l’image par Φ du sous-espace vectoriel Kⁿ de K^N : u_n+k = 0, k = 1, 2, . . . , N – n; le corollaire 3.9.6 montre alors que Σ est une sous-variété, de dimension n et de classe C^m.

60 Corollaire 3.9.11. - Pour qu’un ensemble Σ de \(\mathcal{E}\) soit une hypersurface (c’est-à-dire une sous-variété de dimension N – 1) de classe C^m de \(\mathcal{E}\), il faut et il suffit que, pour tout a de Σ, il existe un voisinage \(\mathcal{V}\) de a dans \(\mathcal{E}\), et une fonction scalaire définie dans \(\mathcal{V}\) et de classe C^m, dont la dérivée F′(a) soit ≠ 0 [6], tels que l’ensemble \(\mathcal{V}\) ∩ Σ soit exactement défini par l’équation F(x) = 0.

61 Il devient donc bien évident qu’une sphère d’un espace euclidien est une sous-variété, puisque la sphère de centre a et de rayon R est définie, dans \(\mathcal{E}\) tout entier, par l’équation < (x – a)|(x – a) >= R².

62 Cet exemple nous montre d’ailleurs que, s’il est vrai qu’il était en général impossible de représenter une variété toute entière par des équations résolues correspondant à la définition, ou par une représentation paramétrique vraie, il est beaucoup plus possible de la définir toute entière par des équations implicites du type indiqué dans le théorème.

63 Naturellement la condition que les F′_k(a) soient indépendantes ou, dans le cas d’une équation, que la dérivée F′(a) soit ≠ 0, est absolument essentielle. Par exemple, le cône du second degré défini dans l’espace R³ par l’équation x² + y² – z² = 0 n’est pas une sous-variété; il ne satisfait à aucune des définitions, à cause d’un point singulier, l’origine.

64 Nous allons maintenant introduire la notion de variété abstraite qui généralise la notion de sous-variété. En effet on conçoit qu’il soit possible de définir cette notion sans qu’elle soit nécessairement contenue dans un espace affine. Par exemple, l’ensemble des pages d’un atlas de géographie donne une description parfaite de la Terre, sans qu’il soit nécessaire d’imaginer que cette Terre, variété à deux dimensions, est contenue dans un espace affine à trois dimensions.

Variété abstraite.

65 Définition 3.9.12. - On appelle variété abstraite (ou simplement variété) de dimension n, un espace topologique V dont tout point [7] possède un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de Rⁿ.

66 On appelle carte de V, la donnée d’un ouvert U de V, d’un homéomorphisme ip de U sur un ouvert Ω = φ(U) de Rⁿ. Nous dirons indifféremment que le triplet (U, φ, Ω) ou que le couple (U, φ) ou simplement φ est une carte de V. [8]

67 L’ouvert U de V s’appelle le domaine de la carte. Pour un point a ∈ V, nous dirons que (U, φ) est une carte locale en a si le domaine de la carte contient le point a. Alors tout point x U a pour image le point φ(x) qui a pour coordonnées dans Rⁿ (x₁ = φ₁(x), x₂ = φ₂(x), . . . , x_n = φ_n(x)) qu’on appelle système de coordonnées locales de x associé à la carte (U, φ) (on écrit (\(\left.\left(x_i=p_i \circ \varphi\right)_{i=1}^n\right)\).

68 On appelle atlas de V toute famile (U_j, φ_j, Ω_j)_i∈I de cartes de V telle que les U_i forment un recouvrement de V.

69 Soient (U_i, φ_i, Ω_i) et (U_j, φ_j, Ω_j) deux cartes de V telles que \(U i \cap U_j \neq \emptyset\). On appelle applications de changement de cartes les applications φ_i,j et φ_j,i définie respectivement dans φ_j(U_i ∩ U_j) et φ_i(U_i ∩ U_j) à valeurs respectivement dans φ_j(U_i ∩ U_j) et φ_i(U_i ∩ U_j), définies par :

70 Remarque 0 - La définition 3.9.2 privilégie le triplet (Ω, ψ = φ^–1, ψ(Ω)) ou Ω est un ouvert de Kⁿ et ψ(Ω) est un ouvert de la sous-variété. C’est pour cela qu’il nous arrivera de dire tout aussi bien que ce triplet est une carte de V.

71 Définition 3.9.13. - Soit V une variété de dimension n munie d’un atlas \(\mathcal{A}\) = (U_i, φ_i, Ω_i)_i∈I. On dit que c’est un atlas de classe C^m si toutes les applications de changements de cartes de cet atlas sont de classe C^m (Cela a un sens puisque toute application changement de cartes est une application d’un ouvert de Rⁿ dans un ouvert de Rⁿ)

72 Soit V une variété de dimension n, \(\mathcal{A}\) un atlas sur V de classe C^m. Soit (U, φ, Ω) une carte de V. On dit que cette carte est admissible ou compatible si pour toute carte de l’atlas (U_i, φ_i, Ω_i), les applications changement de carte \(\varphi \circ \varphi_i^{-1}\) et \(\varphi_i o \varphi^{-1}\) sont de classe C^m. Il revient au même de dire que la réunion des cartes de l’atlas \(\mathcal{A}\) et de la carte (U, φ, Ω) est encore un atlas de classe C^m.

73 Deux atlas de classe C^m sur une variété V de dimension n sont équivalents si toute carte de l’un est admissible pour l’autre, ou encore que la réunion de toutes les cartes appartenant à ces deux atlas est encore un atlas de classe C^m.

74 Etant donnée une variété V de dimension n et \(\mathcal{A}\) un atlas sur V de classe C^m, alors l’ensemble de toutes les cartes de V compatibles avec \(\mathcal{A}\) est un atlas \(\tilde{\mathcal{A}}\) de V de classe C^m. Il est appelé atlas maximal ou atlas saturé ou encore atlas universel de V.

75 On dit qu’une variété V est munie d’une structure différentiable de classe C^m (ou simplement une variété de classe C^m) si V est muni d’un atlas maximal de classe C^m.

76 Ces mots de carte et d’atlas sont évidement tirés des représentations de la Terre. La surface de la Terre est sensiblement une sphère et on peut la considérer comme une variété de dimension 2. Il n’existe pas de représentation paramétrique globale de cette variété compacte à partir d’un ouvert de R²; mais il existe un recouvrement de cette Terre Σ par un système d’ouverts, tels que chacun d’eux soit exactement le domaine d’une carte.

77 Naturellement, comme Σ est compacte, il existe un atlas fini de Σ, c’est-à-dire comprenant un nombre fini de cartes [9]. Chaque “page” d’un atlas est un rectangle, que nous considérons comme un rectangle ouvert de R²; en face des différents points de ce rectangle on a marque le nom d’un lieu de la Terre, c’est-à-dire d’un point particulier de Σ. L’image d’une carte parfaite du point de vue mathématique devrait comporté, en présence de tout point du rectangle, le point correspondant, dans le domaine de la carte, de la Terre, c’est-à-dire exactement avoir défini une application φ d’un ouvert de la variété Σ sur le rectangle ouvert.

78 Du fait que les domaines des cartes sont des ensembles ouverts, il résulte inévitablement que certains points de Σ sont recouverts par plusieurs cartes de l’atlas (nous exigeons en effet que chaque ville du monde soit au moins représentée par un point intérieur à l’un des rectangles-cartes); si en effet chaque point n’était recouvert qu’ une fois, Σ serait réunion d’un nombre fini (> 1) d’ouverts disjoints, donc ne serait pas connexe, or la Terre, comme toute sphère, est connexe, qu’on le regrette ou non.

79 Remarque 1 - Les structures de variété abstraite de classe C^m sont très souvent construites à partir d’un ensemble non muni d’une topologie (comme nous le verrons avec l’exemple important de l’ensemble des vecteurs tangents à une variété et aussi sur d’autres exemples) contrairement aux exemples de sous-variétés dans l’espace affine normé \(\mathcal{E}\) que nous avons rencontrées tout d’abord. Dans ce cas, il est facile de remanier très légèrement la définition d’un atlas de classe C^m pour retrouver du même coup une topologie sur la variété avec toutes les propriétés que nous avons données. Une famille (U_i, φ_i, Ω_i)_i∈I est appelée un atlas de classe C^m d’un ensemble V quelconque si :

81 Nous introduisons une topologie [10] sur V en décrétant qu’une partie A de V est ouverte si et seulement si, pour toute carte (U_i, φ_i), φ_i(A ∩ U_i) est une partie ouverte de Kⁿ. Il est facile de vérifier qu’on a bien défini une topologie sur V et qu’avec cette topologie, (U_i, φ_i, Ω_i)_i∈I est bien un atlas de classe C^m sur V, variété de classe C^m et de dimension n avec les définitions 3.9.12 et 3.9.13.

82 Proposition 3.9.16. - Toute variété V de classe C^m et de dimension n est un espace topologique localement compact et localement connexe.

83 Démonstration : - Soit a ∈ V et (U, φ) une carte autour de a. Alors φ(U) est un ouvert de Rⁿ contenant le point b = φ(a). Il existe alors un voisinage compact K de b contenu dans φ(U). Comme φ est un homéomorphisme, φ^–1(K) est alors un voisinage compact de a dans V. Soit \(\tilde{U}\) un voisinage ouvert de a, alors \(O=\tilde{U} \cap U\) est encore un voisinage ouvert de a. Son image est un voisinage ouvert de b dans Rⁿ. Comme celui-ci est localement connexe, il existe un voisinage connexe W de b contenu dans φ(O). Alors φ^–1(W) est un voisinage connexe de a contenu dans \(\tilde{U}\).

Morphismes de classe C^k de variétés.

84 La structure de classe C^m d’une variété V permet de définir les fonctions de classe C^m sur V.

85 Définition 3.9.17. - Soient ∧ et Σ des variétés de classe C^m de dimensions respectives p et q, sur le même corps K, et soit H une application continue de ∧ dans Σ. On dit que H est de classe C^k, k ≤ m, si, quels que soient le point a de ∧, H(a) = b, quel que soit la carte (U, φ) autour de a dans ∧, et la carte (\(\mathcal{O}\), ψ) autour de b = H(a) dans Σ, l’application composée ψ o H o φ^–1 définie sur φ(U ∩ H^–1(\(\mathcal{O}\))), ouvert de K^p, à valeurs dans K^q est de classe C^k au sens habituel. On dit aussi que H est un C^k-morphisme de ∧ dans Σ.

86 On appelle C^m-difféomorphisme de ∧ sur Σ un homéomorphisme de classe C^k ainsi que son homéomorphisme réciproque.

87 On voit que, si les variétés sont de classe C^m, on ne peut pas définir d’applications de classe C^m′ pour m′ > m. On voit aussi qu’une application de classe C^k′ est toujours de classe C^k′ pour k′ ≤ k. On peut toujours se borner au cas k = m, parce que, si ∧ et Σ sont de classe C^m, m ≥ k, elles sont a fortiori de classe C^k.

88 On note par C^m(∧, Σ) (resp. C^m(∧)) l’ensemble des fonctions définies dans ∧ à valeurs dans Σ (resp. K (K est muni de la structure naturelle de variété de classe C^∞)) de classe C^m. Si W est un ouvert de ∧, on désigne par C^m(W) l’ensemble des fonctions définies dans W à valeurs dans K de classe C^m, étant entendu que W est la variété munie de la structure induite (exemple 5). Il est clair que la somme de deux fonctions de classe C^m ainsi que leur produit est encore une fonction de classe C^m, de même que le produit d’une fonction par un scalaire réel. En d’autres termes C^m(W) est une algèbre sur K.

89 Remarque 2 - C^m(∧) ne dépend que de la structure de classe C^m de ∧. En effet, soit \(\mathcal{B}\) = (U_j, φ_j, Ω_j)_j∈J un C^m-atlas équivalent à \(\mathcal{A}\). Supposons que pour tout i ∈ I, \(f \circ \varphi_i^{-1}\) soit de classe C^m, alors pour tout j ∈ J, \(f \circ \varphi_i^{-1}\) est de classe C^m car

90 où \(\varphi_i o \varphi_j^{-1}\) est l’application changement de cartes donc de classe C^m puisque les atlas sont équivalents.

91 Remarque 3 - Soit ∧ une variété de classe C^m et (U, φ, Ω) une carte de V. Nous avons défini le système de coordonnées locales x ↦ φ^k(x) = x_k, x ∈ U, k = 1, 2, . . . , m. Ce sont des fonctions de classe C^m.

92 Théorème 3.9.18. - Soient ∧, M, Σ trois variétés de classe C^m, G une application de classe C^m de ∧ dans M, H une application de classe C^m de M dans Σ. Alors l’application H o G est une application de classe C^m de ∧ dans Σ.

93 S’il existe un C^m-difféomorphisme entre deux variétés de classe C^m, elles ont même dimension.

94 Démonstration : - Soit (U, φ) une carte autour de a et (\(\mathcal{O}\), ψ) une carte autour c = H o G(a). Nous voulons montrer que l’application Ψ o H o G o φ^–1 est de classe C^m dans \(\varphi\left(U \cap G^{-1}\left(H^{-1}(\mathcal{O})\right)\right.\). Comme la propriété d’être de classe C^m est une propriété locale, il suffit de montrer que cette fonction est de classe C^m au voisinage de tout point \(u \in \varphi\left(U \cap G^{-1}\left(H^{-1}(\mathcal{O})\right)\right.\). Pour ne pas alourdir les notations, on peut supposer que u = φ(a) (dans le cas général, on peut se contenter de choisir des ouverts U₁ et O₁ contenus respectivement dans U et \(\mathcal{O}\)). Soit (V, θ) une carte autour de b = G(a). Posons

95 Ce sont des ouverts contenant b et a respectivement, donc voisinages respectifs de ces points. En particulier, φ(U₁) est un voisinage de u contenu dans φ(U ∩ G^–1(H^–1(\(\mathcal{O}\))). Comme θ o G o φ^–1(φ(U₁) = θ(G(U₁)) ⊂ θ(V₁) = θ(v ∩ H^–1(\(\mathcal{O}\))), alors ψ o H o θ^–1 est de classe C^m dans θ(V₁) et comme φ(U₁) ⊂ φ(U ∩ G^–1(H^–1(\(\mathcal{O}\))), l’application θ o G o φ^–1 est de classe C^m dans φ(U₁). Donc la composée

96 est de classe C^m d’après le théorème 3.9.9, ce qui démontre le premier point. Notre dernière assertion découle alors du corollaire 3.4.5.

97 Théorème 3.9.19. - Soient ∧ et Σ des variétés de ciasse C^m, H une application de ∧ dans Σ. Pour que H soit de classe C^m, il faut et il suffit que, pour tout a de ∧, il existe au moins une carte particulière (U, φ) autour de a dans ∧, et au moins une carte particulière (O, ψ) autour de b = H(a) dans Σ, telles que ψ o H o φ^–1 soit de classe C^m dans φ(U ∩ H^–1(O)).

98 Démonstration : La condition est trivialement nécessaire, nous devons montrer qu’elle est suffisante. Pour cela nous devons montrer que, si (U₁, φ₁ et (O₁, ψ₁)sont des cartes quelconques autour de a et 6 dans ∧ et Σ respectivement, \(\psi_1 \circ H \circ \varphi_1^{-1}\) est encore de classe C^m dans φ₁(U₁ ∩ H^–1(O₁)). Comme dans le théorème 3.9.18, nous allons montrer que cette application est dec lasse C^m dans un voisinage de chacun des points de l’ouvert φ(U₁ ∩ H^–1(O₁)). Soit v un point de cet ouvert et soit \(a=\varphi_1^{-1}(v)\). Alors a ∈ U₁ et H(a) ∈ O₁. Par hypothèse, il il existe au moins une carte particulière (U, φ) autour de a dans ∧, et au moins une carte particulière (\(\mathcal{O}\), ψ) autour de b = H(a) dans Σ, telles que ψ o H o φ^–1 soit de classe C^m dans φ(U ∩ H^–1(O)). Comme O ∩ O₁ est un ouvert contenant H(a) et H est continue, U ∩ U₁ ∩ H^–1(O₁ ∩ O) est un ouvert de ∧ contenant a. s₁ étant un homéomorphisme, s₁(U ∩ U₁ ∩ H^–1(O₁ ∩ O)) est un ouvert contenant v. Nous allons montrer que \(\psi_1 \circ H \circ \varphi_1^{-1}\) est de classe C^m dans cet ouvert. Ecrivons formellement

99 Le deuxième membre de cette égalité est la composée de 3 applications. La première est \(\varphi \circ \varphi_1^{-1}\), elle est de classe C^m dans φ₁(U ∩ U₁) et prend ses valeurs dans φ(U ∩ U₁). A fortiori elle est de classe C^m dans φ₁(U ∩ U₁ ∩ H^–1(O₁ ∩ O)) et prend ses valeurs dans φ(U ∩ U₁ ∩ H^–1(O₁ ∩ O)). On peut donc composer avec la deuxième application qui est ψ o H o φ^–1 qui est de classe C^m dans φ(U ∩ H^–1(O) et à valeurs dans ψ(O ∩ O₁). Or la troisième application ψ₁ o ψ^–1 est de classe C^m dans ψ(O ∩ O₁). Donc ces trois applications se composent bien et leur produit est une application de classe C^m et le théorème est démontré.

100 Ce théorème a de nombreuses conséquences, donnons seulement les plus marquantes.

101 Corollaire 3.9.20. - Si ∧ et Σ sont des ouverts d’espaces affines \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\), l’application H de ∧ dans Σ est de classe C^m, si et seulement si elle est de classe C^m au sens antérieur (Définition 3.6.5)

102 Démonstration : En effet prenons de ∧ et de Σ une carte particulière, la carte formée par l’injection canonique; alors ψ o H o φ^–1 se réduit à H.

103 Corollaire 3.9.21. - Soit ∧ une sous-variété de classe C^m d’un espace affine \(\mathcal{E}\). Alors l’injection canonique i de ∧ dans Σ = \(\mathcal{E}\) est de classe C^m.

104 Démonstration : Il suffit de prendre une carte de ∧, (U, Θ) où Θ est donnée par le théorème 3.9.7 et pour Σ = \(\mathcal{E}\), la carte définie par l’application identique; alors ψ o H o φ^–1 = φ puisque Θ o φ = I et on sait que φ la représentation paramétrique est de classe C^m.

105 Corollaire 3.9.22. - Si ∧ est contenu dans un espace affine \(\mathcal{E}\), toute application H de ∧ dans Σ, restriction à ∧ d’une application \(\tilde{H}\) de classe C^m d’un ouvert Ω de \(\mathcal{E}\), dans Σ, est de classe C^m de ∧ dans Σ.

106 Démonstration : En effet, H est la composée de \(\tilde{H}\) o J, où J est l’injection canonique de ∧ dans Ω, de classe C^m d’après le corollaire 3.9.21.

107 Corollaire 3.9.23. - Soit ∧ une variété de dimension n, de classe C^m, (U, φ) une carte de ∧. Alors φ^–1 est un C^m-difféomorphisme de φ(U) sur U.

108 Démonstration : Il suffit en effet, pour φ(U) de prendre la carte définie par l’application identique, et pour U de prendre la carte φ alors, pour ψ o H o φ^–1 est simplement l’application identique de φ(U), elle est bien de classe C^m.

109 A partir du corollaire 3.9.23, le corollaire 3.9.8 est maintenant évident; mais nous avons dû déjà l’utiliser plusieurs fois pour obtenir les présents résultats.

Exemples de variétés.

110 Exemple 1 - Tout sous-espace affine de dimension n est une variété indéfiniment différentiable; elle comprend en effet un atlas à une seule carte, obtenue en choisissant un référentiel de cette variété, référentiel qui définit une bijection Φ linéaire de Kⁿ sur la variété, ayant toutes les propriétés voulues. En particulier l’espace \(\mathcal{E}\) lui-même est une variété.

111 Exemple 2 - Nous avons implicitement supposé n ≥ 1. En fait on est amené à considérer comme sous-variété de dimension 0 de \(\mathcal{E}\) tout ensemble Σ de points isolés. Une carte d’un voisinage de a ∈ Σ est alors l’application O ↦ a de K⁰ = {O} dans {a}.

112 On est amené à considérer que l’ensemble \(\emptyset\) est une variété avec la seule carte \(\emptyset \mapsto \emptyset\), de dimension -1.

113 Une sous-variété de dimension 1 s’appelle une courbe, une variété de dimension 2, une surface, une sous-variété de dimension N – 1, une hypersurface. Toutefois ces mots ommont été et sont encore employés dans tellement de sens différents qu’il faut être prudents dans leur usage. Il est habituel de considérer la lemniscate de Bernouilli comme une “courbe”, mais ce n’est pas une sous-varié té à cause de son point singulier; en disant “courbe de classe C^m”, on précisera bien qu’on veut dire “variété de dimension 1, de classe C^m”, et la lemniscate sera exclue.

114 Exemple 3 - Une variété Σ de dimension N d’un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N, est simplement un ouvert de \(\mathcal{E}\) (en effet, ici N – n = 0; si l’on revient à la définition, il n’y a pas d’équations (3.9.1), et \(\mathcal{V}\) ∩ Σ = \(\mathcal{V}\) = \(\mathcal{B}\), ouvert de \(\mathcal{E}\) contenant a; donc la définition exprime simplement que tout a de Σ a un voisinage \(\mathcal{V}\) dans \(\mathcal{E}\) qui est contenu dans Σ, donc Σ est ouverte). Un tel ouvert est alors une sous-variété de classe C^∞, et il admet un atlas à une seule carte, définie par l’application identique de Σ ⊂ \(\mathcal{E}\), identifié à K^N par un référentiel, dans Σ.

115 Toute partie d’une sous-variété Σ de \(\mathcal{E}\), qui est ouverte dans E est une variété de même classe et de même dimension.

116 Inversement, si Σ et ∧ sont deux sous-variétés de \(\mathcal{E}\), de même dimension n, Σ ⊂ ∧ alors Σ est simplement un ouvert de ∧. Soit en effet a ∈ Σ. D’après le corollaire 3.9.6, il existe un C^m-difféomorphisme \(\widetilde \Phi\) d’un ouvert \(\widetilde O\) de K^N sur un ouvert de \(\mathcal{E}\) contenant a, tel que \({\widetilde \Phi ^{ - 1}}\left( \Lambda \right)\) soit l’intersection \(\widetilde O\) avec un sous-espace vectoriel Kⁿ de K^N. Mais le corollaire 3.9.5 montre que \({\widetilde \Phi ^{ - 1}}\left( \sum \right)\) est aussi une variété de dimension n de K^N, nécessairement contenue dans Kⁿ; ce que nous venons de voir au début de ce 3°/ montre que c’est un ouvert de Kⁿ, et alors \({\widetilde \Phi ^{ - 1}}\left( \sum \right)\) est un voisinage de \({\widetilde \Phi ^{ - 1}}\left( a \right)\) dans \({\widetilde \Phi ^{ - 1}}\left( \Lambda \right)\); donc Σ est un voisinage de a dans ∧; ceci étant vrai pour tout a de Σ, Σ est bien un ouvert de ∧.

117 Exemple 4 - Montrons que, dans un espace affine euclidien de dimension N sur R, une sphère est une sous-variété indéfiniment différentiable de dimension N – 1. Pour simplifier, prenons un référentiel et pour S = S^N–1 la sphère unité de centre origine. Appelons \(\mathcal{V}\)_j,+ l’ouvert de \(\mathcal{E}\) défini par l’inégalité x_j > 0. Appelons \(\mathcal{B}\)_j l’ouvert de K^N–1 défini par

118 Alors, dans \(\mathcal{V}\)_j,+, la sphère S est définie par l’équation :

119 On opérera de même dans l’ouvert \(\mathcal{V}\)_j,– défini par x_j < 0, et comme ceci peut se faire pour j = 1, 2, . . . , N, on voit que notre affirmation est démontrée, et qu’on a recouvert S par un atlas de 2N cartes de classe C^∞ et de dimension N – 1.

120 Considérons la représentation paramétrique classique de la sphère à deux dimensions dans R³ par les formules

121 Ici \(\mathcal{O}\) sera, par exemple, l’ouvert 0 < φ < 2π, 0 < θ < π, de R², et l’application (3.9.8) done une carte de l’ouvert de la sphère défini par les inégalités : y ≠ 0 ou y = 0, x < 0 (complémentaire du demi-méridien fermé φ = 0, 0 ≤ θ ≤ π). On se sert habituellement de la représentation précédente pour toute la sphère en admettant les valeurs 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, mais alors ce n’est pas une représentation paramétrique vraie. Autrement dit, cette carte à elle seule ne peut pas, comme il a déjà été vu, constituer un atlas de toute la sphère.

122 Par contre, à l’aide de la projection stéréographique; il est facile de montrer qu’il existe un atlas de la sphère constituée par deux cartes seulement. Considérons en effet l’application réciproque de la projection stéréographique, c’est à l’application de R^N–1 dans la sphère, définie par les formules

123 On définit bien là, pour ϵ = + 1 (resp. -1), une carte de classe C^∞, dont l’image est l’ouvert de la sphère, complémentaire du pôle Nord (resp. Sud) (c’est-à-dire du point (0, 0, . . . , ϵ)) [11].

124 Nous avons donc bien un atlas de la sphère formé de deux cartes. Si nous appelons (φ₊, S \ {N}) et (φ_–, S \ {S}) ces deux cartes, alors l’intersection des images de ces deux cartes est égale à R^N–1\{0}. Les deux applications changement de cartes sont données par la même transformation de cet ouvert à savoir l’inversion de pôle l’origine et de puissance 1, c’est-à-dire la transformation qui associe à tout point m ≠ 0 le point m′ situé sur la demi-doite Om tel que \(\overline {Om} .\overline {Om’} = 1\). Cette transformation est une involution c’est-à-dire égale à sa fonction réciproque.

125 Dans le cas particulier où N = 3, il est commode d’utiliser la notation complexe pour les points du plan. Alors au point de coordonnées (x, y, u) sur la sphère correspond par φ₊ (resp. φ_–) le point z (resp. z′) donné par :

126 Comme (1 – u)(1 + u) = 1 – u² = x² + y² = (x + iy)(x – iy), on voit que :

127 Exemple 5 : la ceinture de Möbius - On obtient une ceinture habituelle en partant d’un rectangle A B B′ A′, et en unissant les deux côtés extrêmes A B et A′ B′, A venant sur A′ et B venant sur B′.

128 La ceinture de Möbius est tordue; elle s’obtient bien en unissant les deux bords extrêmes comme précédemment, mais après avoir tordu la ceinture, c’est-à-dire en unissant A à B′ et B à A′, M venant sur M′ si AM = B′M′. On peut définir une telle ceinture comme une sous-variété de classe C^∞ de dimension 2 de l’espace R³.

129 On prendra pour cercle moyen de la ceinture, le cercle Γ défini par les équations x² + y² = a², z = 0, et d’équations paramétriques x = a cos φ, y = a sin φ, z = 0.

130 En appelant m(φ) le point correspondant au paramètre φ de ce cercle, on définira sur la ceinture une fibré, segment ouvert de longueur l < a, perpendiculaire au cercle moyen, par la formule

131 e₃ étant le vecteur unitaire de l’axe des z et u le vecteur unitaire de l’axe Om; Om = a u. Pour φ = 0, ce segment est vertical; quand φ augmente, il “tourne autour de la tangente au cercle moyen”, de l’angle \(\frac{\varphi }{2}\) exactement; quand m revient à sa position initiale, avec φ = 2π, le segment est aussi revenu à sa position initiale, mais s’est “retourné”.

132 Ceci donne la représentation paramétrique de la ceinture de Möbius par les formules :

133 où a, l, sont donnés, 0 < l < a. On remarque bien que, si l’on change φ en φ+2π, et ρ en –ρ, on retombe sur le même point de la ceinture. La représentation précédente est donc une “représentation paramétrique impropre” ; mais, localement, c’est une représentation paramétrique vraie. En effet, si l’on se borne à faire varier (φ, ρ) dans un rectangle ouvert \({\Theta _{{\varphi _0}}} = U\) de R², défini par φ₀ – π < π < π₀ + π, –l < ρ < +l, les formules (3.9.21) définissent un homéomorphisme Φ, de classe C^∞, de U sur un ouvert de la ceinture. Il nous suffit de démontrer que l’application dérivée de Φ en n’importe quel point de U est de rang 2, pour avoir prouvé que la représentation paramétrique Φ est vraie.

134 Or la dérivation de la formule (3.9.18) par rapport à ρ nous donne :

135 elle nous montre, comme il était évident, que le vecteur \(\frac{\partial M}{\partial \rho}\) est non nul (ses composantes sur 2 axes rectangulaires sont \(-\sin \frac{\varphi}{2} \text { et } \cos \frac{\varphi}{2}\), jamais simultanément nulles), et dirigé suivant le segment mobile. La dérivation par rapport à φ donne

136 On vérifie bien, comme on pouvait le voir géométriquement, que le vecteur obtenu \(\frac{\partial M}{\partial \varphi}\) est perpendiculaire au précédent (c’est immédiat en utilisant le fait que \(\frac{d u}{d \varphi}\), u, et e₃ sont 2 à 2 orthogonaux), et, d’autre part, qu’il est non nul, puisque ses composantes sur u et e₃ ne sont jamais simultanément nulles si ρ ≠ 0 et si ρ = 0 c’est la composante sur \(\frac{d u}{d \varphi}\) qui est non nulle.

137 Ainsi les vecteurs \(\frac{\partial M}{\partial \rho}\) et \(\frac{\partial M}{\partial \varphi}\), sont bien indépendants, et la representation paramétrique Φ est vraie; la ceinture de Möbius est bien une sous-variété de dimension 2 et de classe C^∞ de R³.

138 Exemple 6 : l’espace projectif Pⁿ(R) - L’espace projectif de dimension n, noté Pⁿ(R), est l’ensemble des droites vectorielles de Rⁿ⁺¹. Nous allons montrer qu’on peut le munir d’une structure de variété de dimension n sur R, de classe C^∞. On peut toujours repérer une droite vectorielle par un vecteur directeur (x₀, x₁, . . . , x_n) non nul mais il est clair que (λx₀, λx₁, . . . , λx_n) définit la même droite. Pour ne pas confondre le vecteur (x₀, x₁, . . . , x_n) non nul avec la droite d qu’il dirige, nous notons d = (x₀ : x₁ : . . . : x_n).

139 Soit 0 ≤ i ≤ n et U_i l’ensemble des droites telles que x_i ≠ 0 :

140 On lui associe l’application φ_i définie dans U_i à valeurs dans Rⁿ :

141 de façon que, pour, 1 ≤ k ≤ n

142 On observera que cette application est bien définie car si on remplace (x₀ : x₁ : . . . : x_n) par (λx₀ : λx₁ : . . . : λ x_n) l’image reste la même et qu’il est clair que φ_i réalise une bijection de U_i sur l’espace Rⁿ tout entier.

143 Par exemple, dans le plan projectif P²(R), on a trois applications :

145 Restons d’abord dans ce cas, examinons l’application changement de cartes, par exemple, pour φ₀ et φ₂. On voit U₀ ∩ U₂ est formé des droites d = (x₀ : x₁ : x₂) telles que x₀ ≠ 0 et x₂ ≠ 0. Alors l’image par φ₂ est formée des points du plan (y₁, y₂) avec \(y_2=\frac{x_2}{x_0} \neq 0\) alors que l’image de φ₂ est formée des points du plan (z₁, z₂) avec \(z_1=\frac{x_0}{x_2} \neq 0\). Ce sont bien des ouverts du plan et l’application de changement de cartes φ_0,2 est donnée par :

146 et on voit que c’est une application C^∞ dans son domaine de définition. U₀ est appelé la partie finie du plan projectif P²(R).

147 Dans le cas général, on a les formules analogues pour les applications de cartes. Prenons par exemple i < j, alors U_i ∩ U_j est constitué des droites (x₀ : x₁ : . . . : x_i . . . x_j : . . . : x_n) avec x_i ≠ 0 et x_j ≠ 0. Alors l’image par φ_i est formée des points \(\left(y_k\right)_{k=1}^n \in \mathbf{R}^n\) tel que y_j ≠ 0 tandis que l’image par φ_j est formée des points \(\left(z_k\right)_{k=1}^n \in \mathbf{R}^n\) tel que z_i+1 ≠ 0. Ce sont bien des ouverts de Rⁿ. L’application de changement de cartes est donnée par

148 où, pour 1 ≤ k ≤ n, on a :

149 On voit là aussi que les applications changements de cartes sont de classe C^∞ sur leur domaine. Ainsi les \(\left(U_i, \varphi_i\right)_{i=0}^{n+1}\) forment bien un atlas pour une structure de variété C^∞, de dimension n sur Pⁿ(R), d’après la remarque 1.

150 Pⁿ(R) est une variété compacte, pour le voir il suffit de remarquer que l’application de la sphère S² dans P²(R):

151 est continue et surjective (mais non injective). Or S² est compacte et l’image d’un compact par une application continue est compacte.

152 Exemple 7 - L’étude des variétés abstraites est évidemment très importante en Mathématiques, et même dans beaucoup de parties de la Physique. Considérons un système mécanique ayant “un nombre fini de degrés de liberté”, par exemple un gyroscope dont un point de l’axe de révolution est fixe. La position de ce système peut “être définie par les valeurs d’un certain nombre de paramètres réels q₁, q₂, . . . , q_n”; en réalité ce système de paramètres est très arbitraire, il est bien rare qu’on puisse, sans singularité, représenter effectivement toutes les positions d’un système mécanique par les valeurs d’un nombre fini de paramétres. C’est ainsi que, si on fixe la position d’un gyroscope par les angles d’Euler ψ, θ, φ, on ne définit pas là une représentation paramétrique vraie de l’ensemble des positions du gyroscope.

153 En réalité l’ensemble des positions du système mécanique admet une bonne définition comme variété abstraite, qui, dans le cas du gyroscope, est une variété Σ de classe C^∞ à trois dimensions; mais cette variété est abstraite et n’est pas naturellement plongée dans un espace affine.

154 Dire qu’on prend les trois angles d’Euler pour représenter la position du gyroscope, c’est dire qu’on considère une carte particulière, représentant seulement un ouvert de la variété qu’est l’ensemble des positions du gyroscope [12].

155 On peut construire des variétés de classe C^m à partir d’autres variétés de classe C^m.

156 Exemple 8 : Variété induite - Soit V une variété de dimension n de classe C^m et W un ouvert de V. Soit (U_i, φ_i)_i∈I un atlas de V de classe C^m. Alors il est facile de vérifier que les (U_i ∩ W, ψ_i)_i∈I ou ψ_i est la restriction de φ_i à U_i ∩ W, est un atlas C^m pour la variété W de dimension n. Nous dirons que c’est la structure de variété induite sur l’ouvert W par V. W sera toujours muni de cette structure. Nous dirons aussi que W est une variété ouverte.

157 Exemple 9 : Produit de deux variétés - Soient V₁ et V₂ deux variétés de dimension n₁ et n₂ et toutes deux de classe C^m. Alors l’ensemble V₁ × V₂ peut être muni d’une structure de variété de classe C^m de dimension n = n₁ + n₂. En effet, soit (U₁, φ₁, Ω₁) une carte de V₁ et (U₂, φ₂, Ω₂) une carte de V₂, alors on définit une carte de V₁ × V₂ par le triplet (U₁ × U₂,, φ₁ × φ₂,, Ω₁ × Ω₁) où

158 Les applications changements de cartes données par

159 sont de classe C^m. En particulier on appelle Tore à n dimensions la variété produit de n exemplaires de S¹, notée Tⁿ. Lorsque n = 2, on considère le tore comme la sous-variété de R³ engendrée par la rotation autour de l’axe Oz d’un cercle méridien de rayon b > 0 dont le plan passe par Oz et dont le centre décrit un cercle de rayon a > b de centre l’origine dans le plan xOy. Cette description conduit alors à la paramétrisation classique de T² par les formules :

160 Cette représentation sert habituellement pour le tore entier en prenant les valeurs 0 ≤ s ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ 2π bien que ce ne soit pas une représentation paramétrique vraie. On peut lui associer une carte en se restreignant à l’ouvert 0 < φ < 2π, 0 < θ < 2π mais cette carte ne constitue pas elle seule un atlas.

161 Proposition 3.9.25. - Soient V₁ et V₂ deux variétés de dimension n₁ et n₂ et toutes deux de classe C^m, V₁ × V₂ la variété produit. La projection p (resp. q) de V₁ × V₂ sur V₁ (resp. V₂) est une application de classe C^m.

162 Démonstration : - C’est une simple vérification.

163 Exemple 10 - Soit \(\mathcal{R}\)(m, n, k) l’ensemble des matrices à m colonnes, n lignes, de rang k, à coefficients dans K. Montrons qu’on peut le munir d’une structure de variété de classe C^∞, de dimension k(m + n – k).

164 En effet, soit X₀ ∈ \(\mathcal{R}\)(m, n, k). On sait qu’à l’aide de permutations de lignes et de colonnes de la matrice, ce qui revient à multiplier X₀ à gauche et à droite par des matrices carrées inversibles P et Q, on peut écrire

165 où A est une matrice carrée d’ordre k inversible. Or

166 La matrice de gauche du premier membre est une matrice inversible donc le rang du produit du premier membre est k; la matrice du second membre est de rang k si et seulement si on a la relation : \(D_0=C_0 A_0^{-1} B_0\).

167 Nous allons identifier les matrices carrées d’ordre k, comme A₀, à des éléments de \(\mathbf{K}^{k^2}\), les matrices à m – k colonnes et k lignes, comme B₀, à des éléments de K^k(m–k) les matrices à k colonnes et n – k lignes, comme C₀, à des éléments de K^k(n–k) de sorte que nous dirons que la matrice

168 est un élément de avec K^N avec N = k² + k(m – k) + k(n – k) = k(m + n – k). Comme A₀ est inversible et que les matrices inversibles d’ordre ifc forment un ouvert dans l’ensemble des matrices carrées d’ordre k, on peut trouver un ouvert Ω_k contenant A₀, dans \(\mathbf{K}^{k^2}\) . Soit U le sous-ensemble de \(\mathcal{R}\)(m, n, k) donné par

169 où A ∈ Ω_k, B, C sont des matrices quelconques d’ordre (m – k) × k et k × (n – k) respectivement. On observera que X₀ ∈ U et par conséquent les ensembles de cette forme recouvrent \(\mathcal{R}\)(m, n, k). Alors les matrices

170 parcourent un ouvert Ω de K^k(m+n–k) et l’application Φ définie sur U par

171 est une bijection de U sur l’ouvert Ω. On munit \(\mathcal{R}\)(m, n, k) de l’atlas ainsi formé par les triplets (U, Φ, Ω). Cherchons l’expression des applications changement de cartes (U, Φ) et (U′, Φ′). Par construction, voit que

172 si et seulement si

173 ou encore

174 On obtient ainsi l’expression de A′, B′, C′ en fonction de A, B, C par des fonctions C^∞.

175 Lorsque k = m, nous pouvons identifier \(\mathcal{R}\)(m, n, m) à l’ensemble des systèmes de m vecteurs linéairement indépendants de Kⁿ . En effet, un tel système définit de façon unique une matrice appartenant à R(m, n, m) en associant à ce système les coordonnées, dans la base canonique de Kⁿ, des vecteurs qui le composent; c’est aussi la matrice de l’application linéaire de K^m dans Kⁿ qui fait correspondre à la base canonique de K^m ce système des m vecteurs. On note habituellement l’ensemble des systèmes de m vecteurs linéairement indépendants par V(m, n) (c’est aussi l’ensemble des m-référentiels dans un espace de dimension n). La variété V(m, n) de classe C^∞ et de dimension mn est appelée la variété de Stiefel.

176 Exemple 11 : La grassmanienne Gr(E; p) d’un espace vectoriel - Soit E un espace vectoriel de dimension N (sur R ou C) et p un entier, 1 ≤ p ≤ N. La grassmannienne Gr(E; p) est l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de E. C’est la généralisation de l’espace projectif que nous venons de voir. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K. Nous allons montrer que Gr(E; p) peut être munie d’une structure de variété de dimension p(n – p), de classe C^∞.

177 Si E est muni d’une structure euclidienne, la correspondance F ↦ F^⊥ est une bijection de Gr(E; p) sur Gr(E; N – p).

178 L’idée pour la construction d’une carte vient de la possibilité que nous avons rencontrée à l’exemple 3.1.3 que certains sous-ensembles de Gr(E; p) sont susceptibles d’être munis d’une structure affine. En effet nous avons introduit à l’exemple 3.1.3 l’ensemble _GrG(E; p) des sous-espaces vectoriels supplémentaires de G où G est un sous-espace vectoriel de dimension N – p et l’ensemble \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\) des relèvements linéaires, c’est-à-dire ρ ∈ \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\) si et seulementsi ρ ∈ \(\mathcal{L}\)(E/G, E) et πρ = I_E/G ou t désigne la surjection canonique de E sur l’espace vectoriel quotient E/G.

179 Nous avons montré que si ρ ∈ \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\), il définit F_ρ ∈ Gr_G(E; p) et que ρπ est le projecteur de E d’image F_ρ, de noyau G; I_E – ρπ est le projecteur de E d’image G, de noyau F_ρ.

180 Inversement, si F ∈ Gr_G(E; p), il existe ρ_F unique tel que F = Imρ_F. Nous avions donc établi que F ↦ ρF, ρ ↦ F_ρ, définit une bijection entre Gr_G(E; p) et \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\).

181 Or \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\) est un sous-espace affine de \(\mathcal{L}\)(E/G; E), l’espace vectoriel associé étant \(\mathcal{L}\)(E/G; G) : si ρ₀ ∈ \(\mathcal{L}\)(E/G; E), on a la bijection

182 entre \(\mathcal{L}\)(E/G; G ⊂ E) et \(\mathcal{R e l}(E / G, E)\). \(\mathcal{L}\)(E/G; G ⊂ E) est aussi l’espace vectoriel des σ ∈ \(\mathcal{L}\)(E/G; E) tels que πσ = 0. Toutes ces assertions ont été prouvées dans l’exemple 3.1.3.

183 Gr(E; p) est la reunion des ensembles Gr_G(E; p) lorsque G parcourt les sous-espaces vectoriels de E de dimension N – p. La topologie de Gr(E; p) est définie en prenant comme base d’ouverts les intersections finies d’espaces Gr_G{E; p). C’est une topologie séparée. En effet, si F₁ et F₂ sont deux éléments de Gr(E; p), alors on peut trouver un sous-espace vectoriel G de E de dimension N – p tel que E = F₁ ⊕ G = F₂ ⊕ G autrement dit F₁ et F₂ appartiennent à un même Gr_G(E; p). Comme celui-ci est séparé, notre assertion en découle. Gr_G(E; p) est donc un ouvert de Gr(E; p), et on y met la structure C^∞ dite “définie par G”, définie par la carte

184 F₀ arbitraire dans Gr_G(E; p), carte indépendante de F₀ (par translation). On a E = G ⊕ F₀, F_ρ = Im ρ. Nous utilisons le lemme suivant pour montrer que les applications changement de cartes de cet atlas sont C^∞.

185 Lemme 3.9.26. Soit {γ₁, γ₂, . . . , γ_p} une base fixée dans E/G. Alors

186 est une application C^∞ de Gr_G(E; p) dans E^p.

187 Réciproquement soit (g₁, g₂, . . . , g_p) ∈ Ind E^r ensemble des systèmes de p vecteurs linéairement indépendants, et Vect (g₁, g₂, . . . , g_p) le sous-espace engendré par ces vecteurs. Alors l’application, notée Vect,

188 est une application C^∞ de Ind E^p ( même sur les systèmes Inde E^p de vecteurs linéairement indépendants modulo G) à valeurs dans Gr_G(E; p).

189 Démonstration : - Par définition de la carte de Gr_G(E; p), on est amené à prouver que l’application

190 est C^∞. Or cette application est linéaire donc C^∞. Réciproquement, choisissons une base {γ₁, γ₂, . . . , γ_p} dans l’espace vectoriel quotient E/G et déterminons τ_F pour F = Vect(g₁, g₂, . . . , g_p). Nous avons vu que ρπ est alors le projecteur sur F, donc on doit avoir ρπg_k = g_k, k = 1, 2, . . . , p. Mais {g₁, g₂, . . . , g_p} étant libre modulo G, {πg₁, πg₂, . . . , πg_p} est libre dans E/G. Soit N la matrice inversible telle

191 N et N^–1 sont des applications C^∞ des γ_i et des g_k respectivement, donc (g₁, g₂, . . . , g_p) ↦ ρ(Vect (g₁, g₂, . . . , g_p)) est bien C^∞.

192 Proposition 3.9.27. Soient G et G′ deux sous-espaces de E de dimensions N – p. Les structures C^∞ de Gr_G(E; p) et Gr_G′(E; p), coïncident sur leur intersection.

193 Donc l’ensemble des cartes définit sur Gr(E; p) une structure C∞ de dimension p(N – p) où les Gr_G(E; p) sont ouverts.

194 L’application de Ind E^p dans Gr(E; p) et

195 est C^∞.

196 Démonstration : - On doit d’abord voir, pour l’identité des topologies, que Gr_G(E; p) ∩ Gr_G′(E; p) est ouvert dans Gr_G(F; p). Or c’est l’ensemble des ρ ∈ \(\mathcal{L}\)(E/G, E), πρ = I_E/G telles que {ργ₁, . . . , ργ₂} soient indépendants modulo G′ ou {π₂ργ₁, . . . , π₂ργ₂} soient indépendants dans E/G′, qui est évidemment un ensemble ouvert.

197 Il faut ensuite montrer que \(F \in \mathbf{G r}_G(E ; p) \cap \mathbf{G r}_{G^{\prime}}(E ; p) \mapsto F \in \mathbf{G r}_{G^r}(E ; p)\) est C^∞. Or \(F \mapsto \operatorname{Vect}\left(\rho_F \gamma_1, \ldots, \rho_F \gamma_2\right)\) est C^∞ et on applique le lemme 3.9.26.

198 Corollaire 3.9.28. - Gr(E; p) est un compact métrisable.

199 En particulier (F_i)_i∈I, une famille d’éléments de Gr(E; p), tend vers F ∈ Gr(E; p) si et seulement s’il existe j tel que pour i ≥ j, tous les F_i sont dans un même Gr_G(E; p), et si il existe une base de F_i qui converge vers vers une base de F dans E^p.

200 Démonstration : - Gr(E ; p) est métrisable puisque c’est un espace à base dénombrable d’ouverts. Soit (F_i) un ultrafiltre. Pour i assez grand, les F_i, sont dans un même Gr_G(E; p); fixons une base de E/G. Alors \(\left(g_{i, k}\right)_{k=1}^p\) est un filtre sur E^p, donc g_i,k converge vers et converge vers F = [g₁, g₂, . . . , g_k] ( pas forcément dans Gr_G(E; p).

201 Remarque 4 - Nous avons montré dans la remarque 3.1.1 qu’il existe une application bijective de L(F₀; G) sur Gr_G(E; p) qui associe à l’application linéaire v de F₀ dans G son graphe dans F₀ × G ≡ F₀ ⊕ G. Appelons \(\varphi_{F_0, G}\) la bijection réciproque donc de Gr_G(E; p) sur \(\mathcal{L}\)(F₀; G). Nous constituons un atlas avec l’ensemble des triplets \(\mathbf{G r}_G(E ; p), \varphi_{F_0, G}, \mathcal{L}\left(F_0 ; G\right)\).

202 Examinons les applications changements de cartes de cet atlas. Soient G et G′ deux sous-espaces de codimension p tels que \(\mathbf{G r}_G(E ; p) \cap \mathbf{G r}_{G^{\prime}}(E ; p) \neq \emptyset\). Alors en choisissant F₀ dans cette intersection, on se ramène à exprimer \(\varphi_{F_0, G} \circ \varphi_{F_0, G^{\prime}}^{-1}\) qui est la bijection qui associe à toute application linéaire \(v^{\prime} \in \mathcal{L}\left(F_0, G^{\prime}\right)\) l’application linéaire v′ ∈ \(\mathcal{L}\)(F₀, G) telle que graph v = graph v′. Introduisons les notations suivantes pour tout y ∈ G (resp. y ∈ G′) :

203 Alors, on a

204 En effet, puisque graph v = graph v′, pour tout y ∈ F₀, il existe x ∈ F₀ tel que y + v(y) = x + v′(x). En introduisant p, q, p′, q′, on obtient les relations :

205 La premier membre est un élément de F₀ et le second est dans un supplémentaire de F₀, donc

206 Ceci démontre la relation (3.9.47) et la même méthode permet de démontrer la formule

207 donc \(I_{F_0}+p^{\prime} v\) est inversible et d’inverse \(I_{F_0}+p v^{\prime}\). Par suite

208 ce qui prouve bien que les applications changements de cartes sont C^∞. Ainsi Gr(E; p) est bien munie d’une structure de variété de dimension p(n – p), de classe C^∞.

209 Soit E* le dual de E. Si G est un sous-espace de E de supplémentaire F, G^⊥ est supplémentaire de F^⊥ dans E*.

210 Proposition 3.9.29. - L’application F ↦ F^⊥ est un C^∞ difféomorphisme de Gr(E; p) sur Gr(E*, N – p).

211 Démonstration : Il suffit de raisonner dans Gr_G(E; p). Nous allons introduire une décomposition de cette application de la façon suivante.

212 Nous pouvons toujours identifier le dual de E/G à G^⊥, et ^tπ est alors l’injection de G^⊥ dans E*, ^tπ ^tρF est alors le projecteur de E*, d’image F^⊥, de noyau G^⊥. Les notations ρ* et π* sont celles relatives à E* et à Gr(E*, N – p).

213 Corollaire 3.9.30. - Soit E euclidien, alorrs F ↦ F^⊥ est un difféomorphisme C^∞ de Gr(E; p) sur Gr(E; N – p).

214 Remarque 5 : Variétés réelles et variétés complexes - Jusqu’à présent, le corps K pouvait être indifféremment le corps des réels ou le corps des nombres complexes. Suivant qu’il s’agisse du premier ou du deuxième, on dit que Σ est une variété réelle ou variété complexe. Comme tout espace affine sur le corps des complexes est a fortiori un espace affine sur le corps des réels, mais avec une dimension double, et comme de même Cⁿ peut être identifié, en tant qu’espace vectoriel sur le corps des réels, à R²ⁿ, comme d’autre part toute application dérivable par rapport au corps des complexes est a fortiori dérivable par rapport au corps des réels, nous voyons que toute variété Σ, de dimension n et de classe C^m par rapport au corps des complexes, peut être considérée comme une variété de dimension 2n et de même classe C^m par rapport au corps des réels. Quand rien de spécial n’est indiqué, la dimension d’une variété est toujours sa dimension par rapport au corps des réels.

Partition de l’unité.

215 Nous avons vu qu’une variété est un espace localement compact. Le théorème de la partition de l’unité est donc valable ici. Cependant nous voulons une partition de l’unité composée de fonctions de classe C^m. Or pour démontrer le théorème général de la partition de l’unité, nous nous sommes appuyés sur le théorème d’Urysohn. Il nous faut le remplacer si nous voulons une partition de l’unité faite de fonctions de classe C^m.

216 Théorème 3.9.31. - Soient Ω un ouvert d’une variété V de classe C^m (m fini ou = +∞), a un point de Ω. Il existe une fonction γ de classe C^m vérifiant 0 ≤ γ ≤ 1, de support compact contenu dans Ω, et telle que γ(a) > 0.

217 Démonstration : - Soit φ une carte de V, d’image contenant a; φ est un homéomorphisme de classe C^m d’un ouvert Θ₁ de Rⁿ sur φ(Θ₁) ⊂ V; soit Ω₁ = φ^–1(Ω), a₁ = φ^–1(a).

218 Supposons le théorème démontré dans Rⁿ, avec une fonction de classe C^m sur Rⁿ, à support compact K₁ contenu dans Ω₁, vérifiant 0 ≤ γ₁ ≤ 1, γ₁(a₁) > 0. Alors la proposition est aussi démontrée dans V. Définissons en effet γ sur V comme suite :

219 φ^–1 est la bijection réciproque de φ, application de φ(Θ₁) sur Θ₁. La fonction γ est bien de classe C^m. En effet soit b ∈ V ou bien b ∈ φ(Ω₁) , mais alors γ = γ₁ o φ^–1, et comme φ est une carte de classe C^m et γ₁ une fonction de classe C^m sur Θ₁, γ est bien de classe C^m au voisinage de b (théorème 3.9.7); ou bien b ∉ φ(Ω_i), mais alors b est dans l’ouvert U₁ de V : complémentaire du compact φ(K₁) et γ est nulle dans cet ouvert, donc encore de classe au voisinage de b. Nous venons de voir que γ est nulle dans le complémentaire du compact φ(K₁), donc son support est dans le compact φ(K₁) ⊂ φ(Ω₁) ⊂ Ω. Elle vérifie bien 0 ≤ γ ≤ 1, et γ(a) = γ₁ > 0.

220 Reste donc à résoudre le problème, avec γ₁ de classe C^m, sur Rⁿ; comme m peut être quelconque, nous devons trouver γ₁ de classe C^∞. Prenons sur Rⁿ la métrique euclidienne habituelle; alors la fonction x₁ ↦ r = d(a₁, x) est continue, et non dérivable au point a₁, mais son carré r², polynôme du 2ème degré par rapport aux coordonnées, est de classe C^∞. Soit η₁ > 0 tel que la boule compacte B(a₁, η₁) soit dans Ω₁. Si on considère la fonction G sur R₊, définie par :

221 on voit que 0 ≤ G ≤ 1, que G(0) > 0, que G(s) est nulle pour \(s \geq \eta_1^2\), que G est continue, car

222 Mais il y a plus : G est de classe C^∞. En effet, toute dérivée de G, pour \(s<\eta_1^2\), est, comme on le voit de proche en proche, de la forme

223 où P_k est un polynôme à une variable. Lorsque s tend vers \(\eta_1^2\), G^(k)(s) se présente sous la forme ∞ × e^–∞ mais il tend vers 0, l’exponentielle l’emportant sur le polynôme. Pour \(s>\eta_1^2\), G^(k)(s) tend vers 0 quand s tend vers \(\eta_1^2\) par valeurs quelconques différentes de \(\eta_1^2\), et le théorème, appliqué de proche en proche aux dérivées successives, montre bien que G est indéfiniment dérivable, avec toutes ses dérivées nulles pour s = \(\eta_1^2\).

224 Alors la fonction γ₁(x₁) = G((d(a₁, x₁))²) = G(r²), est de classe C^∞, comme composées des 2 fonctions G et r², de classe C^∞, on a bien γ₁(a₁) = G(0) > 0; on a 0 ≤ γ₁ ≤ 1 puisque 0 ≤ G ≤ 1; enfin γ₁ est nulle pour d(a₁, x₁) ≥ η₁, puisque G(s) est nulle pour s ≥ \(\eta_1^2\), et le théorème est démontré.

225 Remarque 6 - Bien entendu, si on cherche le développement de Taylor d’ordre m de G au voisinage de s = \(\eta_1^2\), il se réduit à son terme complémentaire. La série de Taylor de G, suivant les puissances de (s – \(\eta_1^2\)), est convergente, puisque tous ses termes sont nuls, mais elle ne représente pas la fonction pour s \(\eta_1^2\).

226 Proposition 3.9.32. Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞), (Ω_i)_i∈I ( I fini ou non) un recouvrement ouvert de V et K un compact de V. Il existe un système de fonctions de ciasse C^m β_i ≥ 0, dépendant du même ensemble d’indices I, toutes nulles sauf un nombre fini, telles que β_i ait un support compact contenu dans Ω_i, et que la somme

227 soit > 0 sur K.

228 Démonstration : En utilisant à la place du théorème d’Urysohn le théorème 3.9.31 on peut choisir la fonction f_ξ de classe C^m. Alors si β_i est la fonction donnée par

229 c’est encore une fonction de classe C^m.

230 Théorème 3.9.33. Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞, de dimension n sur le corps R des réels, à base dénombrable et (Ω_i)_i∈I un recouvrement (fini ou non) de V par des ouverts. Il existe un système de fonctions réelles de classe C^m (α_i), dépendant du même ensemble d’indices I, tel que 0 ≤ α_i ≤ 1, que α_i ait son support dans Ω_i, que tout point de V ait un voisinage sur lequel un nombre fini seulement des fonctions α_i ne soient pas identiquement nulles (on dit que ce système est localement fini), et que la somme

231 soit identique à 1 sur V.

232 Démonstration : - Il suffit de reprendre la démonstration du théorème 2.8.10 et remplacer continue par de classe C^∞ compte tenu du théorème 3.9.31 et de la proposition 3.9.32.

233 Corollaire 3.9.34. - Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞), de dimension n sur le corps R des réels, à base dénombrable, F un fermé de V, Ω un ouvert contenant F. Il existe une fonction réelle a sur V, de classe C^m, de support contenu dans Si, vérifiant 0 ≤ α ≤ 1, et égale à 1 sur un voisinage de F.

234 Démonstration : identique à celle du corollaire 2.8.11, remplaçant continue par de classe C^m grâce au théorème précédent.

235 Corollaire 3.9.35. - Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞), de dimension n sur le corps R des réels, à base dénombrable, A et B deux parties fermées de E d’intersection vide. Alors il existe une fonction réelle de classe C^m, α, égale à 1 sur tout un voisinage de A et à 0 sur tout un voisinage de B.

236 Démonstration : identique à celle du corollaire 2.8.12, compte tenu du corollaire précédent.

237 Corollaire 3.9.36. - Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞), de dimension n sur le corps R des réels, à base dénombrable, \(\left(F_i\right)_{i=1}^n\) des ensembles fermés de V, deux à deux sans points communs. Soit F un espace de Banach et e₁, e₂, . . . , e_n des vecteurs de F. Alors il existe une fonction de classe C^m, f sur E à valeurs dans l’espace de Banach F, et qui, sur chacun des ensembles fermés Fi prenne la valeur constante e_i. On peut en outre faire en sorte que l’on ait l’égalité:

238 Corollaire 3.9.37. Soient V une variété de classe C^m (m fini ou = +∞), de dimension n sur le corps R des réels, à base dénombrable, F une partie fermée de E. Soit g une fonction définie sur F, continue à valeurs dans un espace de Banach Y, de classe C^m dans F (définition 3.7.14 et théorème 3.7.15) Alors la fonction g, définie sur F, est prolongeable à V en une fonction de classe C^m G à valeurs dans Y.

239 Remarque 7 - Ce corollaire contient tous les cas précédents comme cas particuliers. Si par exemple nous considérons le corollaire 3.9.36, on voit qu’on a pas fait autre chose que prolonger à E la fonction g définie sur la réunion des F_i égaie à la constante e_i sur chaque F_i.

240 Démonstration : - G est définie de la même façon que dans le corollaire 2.8.14. Par définition, pour tout a ∈ F, il existe un voisinage ouvert U_a dans V, une fonction G_a de classe C^m dans U_a à valeurs dans F dont la restriction à F ∩ U_a coïncide avec g. Alors si {(α_a)_a∈F, α₀} est une partition de l’unité subordonnée au recouvrement {(U_a)_a∈F, F^c} de V, il suffit de poser

241 On vérifie facilement que α_aG_a est de classe C^m dans V, ainsi que G car la somme est bien définie puisque localement finie.

Espace vectoriel tangent en un point d’une sous-variété d’un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension N.

242 Théorème 3.9.38. -Soit ∧ une variété de dimension n, de classe C¹ dans un espace affine \(\mathcal{E}\). En tout point a de ∧, le contingent vectoriel (resp. aíñne) [13], est un sous-espace vectoriel de E (resp. afñne de \(\mathcal{E}\)), de dimension n. Ce sous-espace est appelé espace vectoriel tangent (resp. espace affine tangent ) au point a à la variété A; il est noté T(a, ∧) (resp. \(\mathcal{T}\)(a, ∧)).

243 Si n = N, l’espace vectoriel (resp. affine) tangent est E (resp. \(\mathcal{E}\)) lui-même. Si n = 0 , c’est { 0 } (resp. { a } ).

244 Démonstration : - Il suffit de se reporter à la définition même de la variété. Il est possible, grâce au choix d’un système de coordonnées dans ∈, d’identifier celui-ci à un produit Kⁿ × K^N–n, et de définir, au voisinage de a, la variété par une équation z = g(y). On est alors ramené au théorème 3.3.7, et on voit en outre, d’après la formule (3.3.26), que le sous-espace vectoriel tangent en a = (b, c), est défini, dans le système de coordonnées choisi, par l’équation

245 ou que l’espace affine tangent en a, a dans le même système l’équation

246 Notre assertion est bien prouvée.

247 Corollaire 3.9.39. - Soit ∧ une variété de dimension n, de classe C¹ dans un espace affine \(\mathcal{E}\); soit Φ une carte, application d’un ouvert \(\mathcal{O}\) de Kⁿ sur un ouvert de ∧, et soit a un point de \(\mathcal{O}\) et a = Φ(α); l’application dérivée Φ′(α) est une bijection linéaire de Kⁿ sur l’espace vectoriel tangent au point a à la variété ∧.

248 Démonstration : - Supposons d’abord que Φ soit simplement une application C¹ de \(\mathcal{O}\) sur ∧, sans être nécessairement une représentation paramétrique vraie (Φ′(α) n’est pas nécessairement de rang n). Soit X un vecteur de Kⁿ. Considérons la suite des points x_n = Φ(α + t_nX), où les t_n forment une suite de nombres réels > 0, tendant vers 0 pour n tendant vers l’infini. Alors les points x_n appartiennent à ∧, tendent vers a, et d’autre part les vecteurs \(\frac{1}{n}\left(x_n-a\right)\) qui peuvent encore peuvent s’écrire :

249 convergent vers la dérivée de Φ suivant X au point α, c’est à dire Φ′(α).X. Ainsi ce vecteur appartient nécessairement à l’espace vectoriel tangent au point a; il en resulte que l’image par Φ′(α) de Kⁿ est contenue dans l’espace vectoriel tangent, si maintenant nous tenons compte de l’hypothèse faite sur Φ′(α), à savoir qu’elle est de rang n, c’est nécessairement l’espace vectoriel tangent en a tout entier; et l’application Φ′(α) est bien une bijection linéaire de Kⁿ sur cet espace vectoriel tangent.

250 Il en résulte que les vecteurs \(\frac{\partial \Phi}{\partial u_j}(\alpha)\) forment une base de l’espace vectoriel tangent en a à A, et que la variété linéaire tangente en a à ∧ est représentée par l’équation paramétrique [14]

251 et le corollaire est démontré.

252 Corollaire 3.9.40. - Soient ∧, Σ, deux sous-variétés de classe C¹ de deux espaces affines \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\). Soit H une application de classe C¹ de \(\mathcal{E}\) dans \(\mathcal{F}\), telle que H(∧) ⊂ Σ. Alors, pour tout a de ∧, si b = H(a) ∈ Σ, l’image par H′(a) ∈ \(\mathcal{L}\)(E; F) de l’espace vectoriel tangent T(a; ∧) est contenue dans l’espace vectoriel tangent T(b; Σ)

253 Démonstration : - Soit Φ une carte (\(\mathcal{O}\) ⊂ Kⁿ) ↦ Φ(\(\mathcal{O}\)) d’un voisinage Φ(\(\mathcal{O}\)) de a dans ∧, Φ(α) = a. Alors H o Φ est une application C¹ de \(\mathcal{O}\) dans Σ ⊂ \(\mathcal{F}\); le début de démonstration du corollaire précédent montre que

254 Mais

255 d’après le théorème des fonctions composées, et Φ′(α)(Kⁿ)= T(a; ∧) d’où le résultat.

256 Corollaire 3.9.41. - Si on se piace dans les conditions du corollaire 3.9.33 et si \(\mathcal{O}\) est un ouvert de Kⁿ contenant a tel que la restriction de Φ à \(\mathcal{O}\) admette une application réciproque à gauche Θ dans les conditions du théorème 3.9.8, alors la bijection linéaire Φ′(α) de Kⁿ sur T(a; ∧) admet pour bijection réciproque la restriction à T(a; ∧) de l’application dérivée Θ′(a).

257 Démonstration : De l’identité Θ o Φ = I, on déduit

258 (théorème des fonctions composées), qui prouve bien que la restriction de Θ′(α) à l’image par Φ′(a) de Kⁿ, c’est-à-dire T(a; ∧), est la bijection réciproque de Φ′(α).

259 Corollaire 3.9.42. - Soient Φ₁ et Φ₂ des applications d’ouverts \(\mathcal{O}\)₁ et \(\mathcal{O}\)₂ de Kⁿ dans ∧, formant des cartes de même image dans la variété ∧ plongée dans \(\mathcal{E}\); soit X un vecteur tangent en a à ∧, a = Φ₁(α₁) = Φ₂(α₂); si ξ₁ et ξ₂ sont les vecteurs de Kⁿ dont il est l’image par les applications \(\Phi_1^{\prime}\left(\alpha_1\right)\) et \(\Phi_2^{\prime}\left(\alpha_2\right)\), alors ξ₂ est l’image de ξ₁ par la dérivée au point ͍₁, de l’application de classe \(C^1 \Phi_2^{-1} o \Phi_1\)

260 Démonstration : Il suffit en effet de remarquer que l’on peut écrire

261 Mais précisément, d’après le corollaire précédent, nous avons vu que l’application réciproque \(\Phi_2^{\prime}\left(\alpha_2\right)\) est aussi la restriction, au sous-espace vectoriel tangent en a, de \(\Theta_2^{\prime}(a)\); on peut donc aussi écrire que ξ₂ est relié à ξ₁ par

262 Mais alors Φ₁ et Θ₂ sont cette fois-ci des applications d’un ouvert d’un espace affine dans un espace affine.

263 Nous pouvons donc appliquer le théorème des fonctions composées (théorème 3.4.1), et remplacer l’égalité précédente par

264 Mais enfin, d’après les propriétés de Θ₂, on voit bien que Θ₂ coïncide avec \(\Phi_2^{-1} \circ \Phi_1\) (c’est précisément comme cela que nous vu au corollaire 3.9.9 que \(\Phi_2^{-1} \circ \Phi_1\) était de classe C¹), on peut donc écrire

265 Ceci démontre le corollaire.

266 Corollaire 3.9.43. - Soft ∧ une variété, de dimension n, de classe C¹, dans un espace affine \(\mathcal{E}\). Soit a un point de ∧, et soit F_k(x) = 0, = 1, 2, . . . , N – n, un système normal d’équations de ∧ dans un voisinage de a dans \(\mathcal{E}\). Alors le sous-espace vectoriel tangent en a à ∧ est défini dans E par les équations :

267 et l’espace affine tangent en a à ∧ est défini dans \(\mathcal{E}\) par les équations

268 Démonstration : - Soit x_n une suite de points de ∧ tendant vers a, et λ_n une suite de scalaires réels > 0 telle que la suite de vecteurs λ_n(x_n – a) tendent vers le vecteur X de E, pour n tendant vers l’infini. Comme alors on a à la fois F_k(x_n) = 0 et F_k(a) = 0, la définition même de la dérivée (formule 3.3.14) donne

269 ||α_n|| tendant vers 0 , pour n infini; d’où par multiplication par λ_n :

270 Comme λ_n (x_n – a) converge vers X, et comme \(F_k^{\prime}(a)\) est une forme linéaire continue, on voit que nécessairement chaque vecteur tangent X en a à ∧ vérifie les N – n équations linéaires (3.9.65).

271 Mais, comme ces N – n équations linéaires sont supposées indépendantes elles définissent précisément un sous-espace vectoriel de dimension n de E; c’est donc exactement l’espace vectoriel tangent en a à ∧ lui-même.

272 Le résultat relatif à l’espace affine tangent s’en déduit immédiatement.

273 Corollaire 3.9.44. - Si \(\mathcal{E}\) est un espace affine euclidien de dimension N sur le corps des réels et si ∧ est une hypersurface définie par une équation F(x) = 0, où F est une fonction réelle de classe C¹ dont le gradient au point a est ≠ 0, ce gradient est normal en a à ∧, et le vecteur :

274 est un vecteur unitaire de la normale en a à ∧ [15]

275 Corollaire 3.9.45. - Soft ∧ une variété de dimension n et de ciasse C¹ d’un espace affine \(\mathcal{E}\), soit Φ une carte appliquant un ouvert \(\mathcal{O}\) de Kⁿ sur un ouvert de ∧. Alors l’application (u, U) ↦ (Φ(u), Φ′(u).U), qui fait correspondre à tout couple d’un point u et d’un vecteur U le couple du point image Φ(u), point de ∧, et du vecteur Φ′(u).U tangent en ce point à ∧, est un homéomorphisme de \(\mathcal{O}\) × Kⁿ sur son image.

276 Démonstration : - C’est une application continue (théorème 3.3.16) et bijective. Pour démontrer que c’est un homéomorphisme, il suffit donc de savoir que son application réciproque est continue. Comme, par ailleurs, la continuité est une propriété locale, on peut se borner à restreindre l’application réciproque à l’ensemble des couples (x, X), pour lesquels x parcourt un voisinage de a dans ∧. Utilisant alors le théorème 3.9.8, on voit (corollaire 3.9.25) que l’application réciproque n’est autre que la restriction de l’application

277 de \(\mathcal{V}\) × E dans Kⁿ × Kⁿ. Cette application est continue, encore en vertu du théorème 3.3.16.

Espace vectoriel tangent en un point d’une variété abstraite.

278 Proposition 3.9.46. - Soit V une sous-variété de dimension n (n ≥ 1) d’un espace affine normé de dimension N, a ∈ V, et γ un chemin de classe C¹ tracé sur V et passant par a, c’est-à-dire que γ est défini dans l’intervalle ] –ϵ, +ϵ[ tel que γ(0) = a et γ(t) ∈ V pour tout t ∈] –ϵ, +ϵ[. Soit X = γ′(0). Alors :

280 Démonstration : - Supposons V donné par des équations implicites F_k(x) = 0, k = 1, 2, . . . , N – n. Alors pour prouver le point 1), il suffit d’après le corollaire 3.9.43 de montrer que l’on a \(F_k^{\prime}(a)(X)=0\) pour k = 1, 2, . . . , N–n. Or puisque γ est tracée sur la variété V, on a pour tout t ∈]–ϵ, ϵ[, et pour tout k = 1, 2, . . . , N–n F_k(γ(t)) = 0. Mais alors la fonction t ↦ F_k{γ(t)) étant de classe C¹, sa dérivée est identiquement nulle donc

281 Comme γ(0) = a et que γ′(0) = X, le point 1 résulte de cette formule en prenant t = 0.

282 Supposons γ′(0) = σ′(0). Alors si f ∈ C¹(V), on a

283 Réciproquement, en prenant les restrictions des fonctions coordonnées, x₁, x₂, . . . , x_n, on voit que pour tout i = 1, 2, . . . , n, on a

284 et le second point est ainsi prouvé.

285 Soit V une variété de dimension n et de classe C^m, a un point de V. Désignons par \(\Gamma_a^1(V)\) l’ensemble des chemins de classe C¹ tracés sur V passant par a. On convient que a est l’image de 0 pour tous les chemins. Nous dirons que deux de ces chemins γ et a sont équivalents s’il existe une carte locale autour de a, (U, φ) telle que :

286 Soit (V, ψ) une autre carte au voisinage de a, alors si χ désigne l’application de changement de cartes ψ o φ^–1, on a

287 La proposition est prouvée.

288 Il est facile de voir que la relation (3.9.70) est une relation d’équivalence, et cela nous amène à la première façon d’introduire la notion de vecteur tangent.

289 Définition 3.9.47. (première définition d’un vecteur tangent) Soient V une variété abstraite de classe C¹, de dimension n, et a un point de V. On appelle vecteur tangent en a à la variété V une classe d’équivalence de chemins de classe C¹ tracés sur V, passant par a, suivant la relation d’équivalence donnée par (3.9.73).

290 Cette première définition a le mérite d’être assez intuitive puisqu’elle traduit presque parfaitement l’idée que nous nous faisons d’un vecteur tangent à une courbe ou à une surface. Elle a l’inconvénient de ne pas être très liée à la structure de classe C^m de la variété et c’est pour cela nous allons considérer un second point de vue (qui nous conduira à une deuxième définition).

291 Soit V une variété de clase C^m, et a ∈ V. Désignons par \(\mathcal{M}\) l’ensemble des couples (U, f) où U est un ouvert de V contenant a et f une fonction définie dans U à valeurs dans K de classe C^m.

292 Définition 3.9.48. - Nous dirons que deux éléments (U₁, f₁) et (U₂, f₂) sont équivalents s’il existe un voisinage ouvert U de a contenu dans U₁ ∩ U₂ tel que la restriction de f₁ à U est égale à la restriction de f₂ à U. Il est clair qu’on a là une relation d’équivalence. On appelle germe de fonction de classe C^m en a, une classe d’équivalence.

293 Nous désignons comme d’habitude une classe par l’un de ses représentants. Observons que si (U, f) est un germe de fonction de classe C^m en a, la valeur f(a) ne dépend que de la classe et non du représentant. De la même façon, si (O, φ) est une carte locale au voisinage de a, la dérivée (f o φ^–1)′(φ(a)) ne dépend que de la classe et non d’un représentant. Nous notons par \(\mathcal{C}_a^m(V)\) l’ensemble des germes de fonction de classe C^m en a.

294 Définition 3.9.49. Soient (U, f) un germe de fonction de classe C^m en a, (\(\mathcal{O}\), φ) une carte au voisinage de a. On dit que (U, f) est un germe de fonction de classe C^m stationnaire en a si la dérivée (f o φ^–1)′(φ(a)) est nulle. On note par \(\mathcal{S}_a^m(V)\) l’ensemble des germes de fonction de classe C^m stationnaires en a.

295 Il est facile de vérifier pour toute carte \((\tilde{O}, \psi)\) au voisinage de a, f o ψ^–1 a aussi une dérivée nulle au point ψ(a). car l’application changement de cartes est un difféomorphisme.

296 Notation - Soit V une variété de classe C^m, a ∈ V, (U, φ) une carte locale au voisinage de a, \(\left(x_j=p_j \circ \varphi\right)_{j=1}^n\) le système de coordonnées locales associé à cette carte.

297 Soit f une fonction définie au voisinage de a à valeurs dans K. On pose pour j = 1, 2 . . . n :

298 Comme le calcul de la dérivée au point a ne fait intervenir que les valeurs de f au voisinage de a, la quantité introduite en (3.9.75) ne dépend que du germe de fonction de classe C^m en a. Avant d’introduire la seconde approche d’un vecteur tangent, nous avons le théorème suivant.

299 Théorème 3.9.50. 1 - Les applications de \(C_a^m(V)\) dans K :

300 sont des formes linéaires sur l’espace des germes de fonctions de classe C^m en a, qui s’annulent sur les germes stationnaires en a.

301 2 - Toute forme linéaire L sur \(C_a^m(V)\) qui s’annule sur \(S_a^m(V)\) s’écrit de façon unique :

302 Autrement dit les

303 forment une base de l’espace vectoriel des formes linéaires sur \(C_a^m(V)\) qui s’annullent sur \(S_a^m(V)\).

304 Démonstration : - Le premier point est évident puisque

305 si {e₁, e₂, . . . , e_n} est la base choisie avec le système de coordonnées locales.

306 Passons donc au second point en associant à f la fonction g définie au voisinage de a par :

307 Alors g est stationnaire en a. En effet :

308 et par suite, le calcul de la l’ème dérivée partielle donne :

309 et cela pour tout indice i = 1, 2, . . . , n. Puisque L est une forme linéaire qui s’annulle sur les germes stationnaire en a, elle s’annulle sur g, ce qui donne :

310 et ainsi se trouve une partie de notre seconde assertion. Il reste à prouver que les \(\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\right)_a f\) forment une famille libre. Supposons qu’on ait une relation :

311 Alors, en appliquant cette relation aux fonctions coordonnées locales x_i = p_i o φ pour i = 1, 2, . . . , n, on obtient :

312 donc ces formes linéaires sont bien indépendantes et le théorème est démontré.

313 Proposition 3.9.51. - Soit V une variété de classe C^m de dimension n, a un point de V, X un vecteur tangent de V en a, défini par la classe d’un chemin γ de classe C¹ tracé sur V et passant par a. L’application

314 est une forme linéaire sur \(C_a^m(V)\) qui s’annule sur tout germe de classe C^m stationnaire en a.

315 L’application X ↦ L_x est une bijection de l’ensemble des vecteurs tangents en a de V sur l’ensemble des formes linéaires sur les germes de fonctions de classe C^m en a qui s’annulent sur les germes stationnaires en a.

316 Nous écrirons dorénavant X(f) au lieu de L_x(f) [16]

317 Démonstration : - La définition ne fait intervenir que les valeurs de f au voisinage de a et par conséquent ne dépend que du germe de fonction en a.

318 On a :

319 Soit (U, φ) un carte locale au voisinage de a et posons ψ(t) = φ(γ(t)). Alors

320 si f est un germe stationnaire.

321 Réciproquement, soit L une forme linéaire sur les germes de fonctions de classe C^m en a qui s’annule sur les germes stationnaires. Nous savons que si (U, φ) est une carte locale au voisinage de a, on a (théorème 3.9.48) :

322 Définissons le chemin γ sur V qui passe par a en posant :

323 Alors

324 et par conséquent, le calcul de la dérivée en 0 donne :

325 On peut encore écrire cette égalité sous la forme :

326 La démonstration est ainsi achevée.

327 En identifiant X avec la forme linéaire L_X, nous pouvons donc introduire la seconde définition d’un vecteur tangent.

328 Définition 3.9.52. (Deuxième définition d’un vecteur tangent) - Soit V une variété de classe C^m, a un point de V. On appelle vecteur tangent en a àV la donnée d’une forme linéaire X : f ↦ X(f) sur l’espace vectoriel formé par les germes de fonctions de classe en a, qui s’annule sur les germes stationnaires en a.

329 On note T(a; V) l’espace vectoriel formé par l’ensemble des vecteurs tangents en a à V et on l’appelle l’espace vectoriel tangent (ce qui permet de conserver la notation introduite dans le théorème 3.9.38).

330 Corollaire 3.9.53. - Soit V une variété de classe C^m, de dimension n. L’espace vectoriel tangent T(a; V) en tout point a ∈ V est un espace vectoriel de dimension n. Pour toute carte locale (U, φ) au voisinage de a, et pour tout système de coordonnées locales \(\left(x_j=p_j o \varphi\right)_{j=1}^n\), les n vecteurs tangents :

331 forment une base de T(a; V).

332 Démonstration : - C’est une autre manière de formuler les résultats du théorème 3.9.48 au vu de la seconde définition 3.9.50 d’un vecteur tangent.

333 Remarque 8 - En fait, l’introduction d’un vecteur tangent à une variété abstraite en un point peut être présentée sous des formes diverses (mais équivalentes). Le choix est fait en fonction du but poursuivi. Comme dans ce §, nous ne faisons qu’une esquisse de la théorie, notre définition voulait être assez intuitive. Nous aurions pu aussi nous inspirer du corollaire 3.9.26 pour une autre approche. En effet soit φ : \(\mathcal{O}\) ↦ φ(\(\mathcal{O}\)) une carte d’un ouvert φ(\(\mathcal{O}\)) de V contenant a, et soit a ∈ Kⁿ tel que φ(a) = a. Il est intuitif que, si ξ est un vecteur quelconque de Kⁿ, on doit pouvoir, par φ lui faire correspondre un vecteur tangent X au point a à la variété V. Mais alors soient φ₁ : \(\mathcal{O}\)₁ ↦ φ(\(\mathcal{O}\)₁) et φ₂ : \(\mathcal{O}\)₂ ↦ φ{\(\mathcal{O}\)₂) deux cartes d’ouverts de la variété V contenant a. Soient ξ₁ et ξ₂ deux vecteurs de Kⁿ. Quand dira-t-on qu’il leur correspond, par φ₁ et φ₂ le même vecteur tangent X en a à V ? Soit Ω l’intersection de φ₁(\(\mathcal{O}\)₁) ∩ φ₂(\(\mathcal{O}\)₂), et soient \(\Omega_1=\varphi_1^{-1}\left(\mathcal{O}_1\right)\) et \(\Omega_2=\varphi_2^{-1}\left(\mathcal{O}_2\right)\). Alors on sait que \(\varphi_2^{-1} \circ \varphi\) est un C^m-difféomorphisme de Ω₁ sur Ω₂. Il admet donc au point α₁ ∈ Ω₁ une application dérivée \(\varphi_2^{-1} \circ \varphi\)′(α₁). Nous conviendrons que ξ₁ et ξ₂ représentent, par φ₁ et φ₂, le même vecteur X tangent en a à la variété V si l’on a la relation

334 Remarque 9 - Il est bon de noter que, si a et b sont deux points distincts de V les espaces vectoriels tangents T(a; V) et T(b; V) n’ont aucun rapport simple l’un avec l’autre. Ils ne sont pas, comme dans le cas d’une sous-variété d’un espace affine, sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel donné à l’avance.

335 Remarque 8 - Nous venons de définir un vecteur tangent en a à V comme une forme linéaire sur l’espace vectoriel des germes de fonction de classe C^m, qui s’annule sur les germes de fonctions stationnaires en a. Or les germes de fonctions stationnaires en a forment un sous-espace vectoriel et par suite, il est clair qu’un vecteur tangent définit une forme linéaire sur l’espace vectoriel quotient de l’ensemble des germes de fonctions de classe C^m en a par le sous-espace des germes de fonctions stationnaires en a.

336 La réciproque est vraie en ce sens que si L est une forme linéaire sur cet espace quotient, on peut lui associer, en la composant avec la surjection canonique, une forme linéaire sur \(C_a^m(V)\) qui s’annule sur les germes de fonctions stationnaires (la classe 0). Ainsi l’espace vectoriel tangent en a à V est le dual (algébrique) de l’espace vectoriel quotient :

337 Comme nous avons montré que cet espace dual est de dimension finie, cela nous permet d’introduire la définition suivante :

338 Définition 3.9.54. - Soient V une variété de dimension n et de classe C^m, a ∈ V. On appelle espace cotangent en a à V, espace vectoriel noté T*(a; V) l’espace vectoriel quotient de l’espace vectoriel formé par les germes de fonctions de classe C^m en a par le sous-espace des germes de fonctions stationnaires en a :

339 Pour toute fonction f ∈ C¹(V), on appelle différentielle de f en a, la classe de f, noté (df)_a, dans T*(a; V).

340 On note T(V) (resp. T*(V)) la somme des ensembles (définition 1.3.17) T(a; V) (resp. T*(a; V)) lorsque a parcourt V.

341 Il existe une application naturelle de T(V) (resp. T*(V)) sur V, notée p (resp. p*) et appelée projection de T(V) (resp. T*(V)) sur la base V. Cette application associe à tout X ∈ T(V) (resp. L ∈ T*(V)), le point a ∈ V, si et seulement si X ∈ T(a; V) (resp. L ∈ T*(a; V)). On a donc pour tout a ∈ V :

342 Le triplet (T(V), V,p) (resp. (T*(V), V, p*)) est appelé le fibré tangent (resp. fibré cotangent ) de la variété V.

343 Remarque 11 - Par définition, T(a; V) est l’espace dual de T*(a; V) et comme il est de dimension finie, T*(a; V) est le dual de T(a; V). Le crochet de dualité est donné compte tenu des formules (3.9.87) et (3.9.86) pour tout vecteur tangent

344 par

345 Remarque 12 - Soit (U, φ) une carte locale au voisinage de a, et \(\left(x_j=p_j \circ \varphi\right)_{j=1}^n\) un système de coordonnées locales. Chacune des n fonctions coordonnées a une différentielle en a que nous notons (dx_j)_a. La proposition suivante montre que ces n formes différentielles constituent une base de l’espace cotangent en a. Observons qu’on pourrait aussi bien appeler cet espace, l’espace des différentielles de V en a.

346 Proposition 3.9.55. - Soient V une variété de dimension n et de classe C^m, a ∈ V, (U, φ) une carte de V au voisinage de a, et \(\left(x_j\right)_{j=1}^n\) un système de coordonnées locales associé à cette carte.

347 L’espace vectoriel cotangent en a à V admet pour base les (dx_j)_a. De façon plus précise, on a :

348 et {(dx_i)_a : i = 1, 2, . . . , n} est la base duale de la base

349 Démonstration : - On vérifie aisément que :

350 Donc les deux espaces T(a; V) et \(T_a^*(V)\) étant de dimension n, il s’agit bien de bases duales. Soit \(f \in C_a^m(V)\), nous avons montré que la fonction g donnée par :

351 est stationnaire en a, donc f et

352 ont même différentielle en a, et la formule (3.9.102) résulte de l’expression de la différentielle de cette dernière fonction.

Application linéaire tangente ou dérivée.

353 Soient V et W deux variétés de classe C¹, de dimensions respectives p et q. Soit H une application de classe C¹ de V dans W, b = H(a). Soit X un vecteur tangent à V en a et g un germe de fonction sur W de classe C¹ en b. Alors il est clair que l’application

354 est une forme linéaire sur \(C_b^1(W)\). D’autre part, si g est un germe de fonction stationnaire en b, g o H est un germe de fonction sur V, stationnaire en a grâce à la formule :

355 On a donc défini un vecteur tangent à W en b. Ce vecteur tangent est noté H′(a).X. Il est évident que l’application X ↦ Y est linéaire.

356 Définition 3.9.56. - Soient V et W deux variétés de classe C¹, de dimensions respectives p et q. Soit H une application de classe C¹ de V dans W, b = H(a). On appelle application dérivée (ou application linéaire tangente) de H en a, l’application linéaire de T(a; V) dans T(b; W), notée H′(a) et définie sur tout vecteur tangent X de T(a; V) par la formule

357 Proposition 3.9.57. Soient V, W, Z trois variétés de classe C¹, de dimensions respectives p, q et r. Soit G (resp. H) une application de classe C¹ de V(resp. W) dans W (resp. Z). Soit a ∈ V, b = G(a), c = H(b). Alors la dérivée de H o G en a est la composée de la dérivée de G en a par la dérivée de H en b.

358 En particulier si G est un difféomorphisme de V sur W, G′(a) est un isomorphisme de T(a; V) sur T(b; W).

359 Démonstration : - Le premier point est évident. Pour prouver le second point, il suffit d’appliquer la formule (3.9.106) avec H = G^–1 sachant que l’application linéaire tangente en a de l’application identique de V dans V est l’application identique de T(a; V).

360 Remarque 13 - Soit (U, φ) et (O, ψ) des cartes locales autour de a et b de V et W respectivement. Soit \(\mathcal{H}\) l’application H lue dans ces cartes i.e \(\mathcal{H}\) = ψ o H o φ^–1. Soit X un vecteur tangent en a. On a :

361 où, pour tout 1 ≤ k ≤ q

362 Cette formule montre que l’application dérivée est la généralisation de celles que nous avions vues jusqu’à présent pour une application de classe C¹ d’un espace affine dans un autre. En effet, si V et W sont des ouverts des espaces K^p et K^q, on peut prendre pour (φ et ψ l’application identique; l’espace vectoriel tangent en a à V est alors identifié à K^p et l’espace vectoriel tangent en b à W est identifié à K^q avec ξ = X et η = Y; l’application dérivée que nous venons de définir n’est autre que l’application H′(a) de K^p dans K^q.

363 Remarque 14 - Soit V une variété contenue dans un espace affine \(\mathcal{E}\). On peut prendre pour H l’injection de V dans \(\mathcal{E}\); l’application dérivée H′(a) définit alors une application linéaire de T(a, V) dans T(a, \(\mathcal{E}\)) = E; on vérifie que cette application linéaire est une injection; elle permet donc d’identifier T(a, V) à son image, c’est-à-dire à un sous-espace de E, et ce sous-espace n’est autre que celui que nous avions trouvé antérieurement comme étant le sous-espace vectoriel tangent en a à la variété V contenue dans l’espace affine \(\mathcal{E}\).

364 Remarque 15 - Soit ϵ > 0 et I =] –ϵ, +ϵ[ considéré comme une variété de dimension 1. On peut identifier l’espace tangent en 0 à I à R par l’intermédiaire de la correspondance

365 Soient V une variété de classe C^m, de dimension n et γ un chemin de classe C¹ tracé sur V passant par a ∈ V. Alors on peut considérer l’application dérivée de γ en 0 et en particulier l’image de 1 par cette application est un vecteur tangent à V en a. On note ce vecteur γ′(0). On a donc :

366 Dans la proposition 3.9.43, nous avons établi qu’un vecteur tangent X en a à V était défini par la forme linéaire :

367 où γ est un représentant d’une classe d’équivalence de chemins de classe C^m. D’après ce qui précède, on peut associer à chaque représentant un vecteur tangent en a à V. En fait, tous ces vecteurs tangents (des chemins d’une même classe) n’en font qu’un. En effet, si γ et a sont équivalents, cela signifie que pour tout \(f \in C_a^m(V)\), on a :

368 Or par définition de γ′(0), on a,

369 et en prenant pour carte l’application identique, on voit que

370 Nous retrouvons ainsi le fait que l’espace vectoriel tangent en a à V est égal à l’ensemble des vecteurs tangents en 0 aux chemins γ de classe C¹ tracés sur V et qui passent par a = γ(0) ∈ V.

371 Théorème 3.9.57. (d’inversion locale) Soient V et V′ deux variétés de classe C^m et de même dimension n, f une application de V dans V de classe C^m. On suppose que la dérivée de f en a, f′(a), est un isomorphisme de T(a; V) sur T(f(a); V′). Alors il existe un voisinage ouvert U(a) de a dans V et un voisinage ouvert U′(f(a)) de f(a) dans V tel que la restriction de f à U(a) soit un difféomorphisme de U(a) sur U′(f(a)).

372 Démonstration : - C’est une propriété locale, on peut donc se ramener au cas où V et V′ sont des ouverts de Kⁿ. Le résultat est alors donné par le théorème 3.8.10.

Immersion, plongement, sous-variétés.

373 Définition 3.9.57. Soient V et V′ deux variétés de classe C^m, f une application de V dans V′ de classe C^m. On dit que

374 f est une immersion (resp. submersion) en a ∈ V, si l’application linéaire tangente en a, f′(a), est injective (resp. surjective);

375 f est une immersion (resp. submersion) sur une partie M ⊂ V si f est immersion (resp. submersion) en tout a ∈ M;

376 f est un plongement si f est à la fois une immersion, une application injective et un homéomorphisme de V sur f(V);

377 f est un plongement propre si f est un plongement et une application propre.

378 Proposition 3.9.58. - Soient V₁ et V₂ deux variétés de classe C^m, de dimension n₁ et n₂ respectivement, f une immersion de V₁ dans V₂. Si, en outre f est injective et propre, c’est un plongement propre.

379 Démonstration : - Puisque f est injective, c’est une bijection de V₁ sur f(V₁), soit g la bijection réciproque. Puisque V₁ et V₂ sont en particulier des espaces localement compacts, et que f est une application continue propre, il résulte du théorème 2.8.7 que l’image par f d’une partie fermée de V₁ est une partie fermée de V₂. Ceci revient à dire que l’image réciproque par g de toute fermée de V₁ est une partie fermée de V₂ autrement dit g est continue et par conséquent f est un homéomorphisme de V₁ sur f(V₁), donc un plongement. C’est bien le résultat annoncé.

380 Corollaire 3.9.59. - Soient V₁ et V₂ deux variétés de classe C^m, de dimension n₁ et n₂ respectivement, f une immersion de V₁ dans V₂. Si, en outre f est injective et V₁ compact, f est alors un plongement.

381 Démonstration : - Puisque V₁ est compacte et f continue, f est une application propre.

382 Définition 3.9.60. - Soient V et V′ deux variétés de classe C^m, de dimension n et m respectivement, f une application de V dans V de classe C^k. On appelle rang de f en un point a ∈ V, le rang de la dérivée de f en a.

383 Remarque 16 - Soit (U, φ) une carte autour de a et (U′,φ′) une carte autour de f(a). Alors le rang de f en a est aussi le rang de l’application φ′ o f o φ^–1 définie dans φ(f^–1(U′) ∩ Kⁿ à valeurs dans K^m, au point φ(a). En effet les applications linéaires tangentes de φ^–1 et de φ′ sont des isomorphismes et par conséquent elles conservent le rang par composition.

384 Théorème 3.9.61. (semi-continuité inférieure du rang) - Soient V et V′ deux variétés de classe C^m, de dimension n et m respectivement, f une application de V dans V de classe C^m. On suppose que le rang de f en un point a ∈ V est égal à r. Il existe un ouvert U contenant a tel que pour tout x ∈ U, le rang de f en x est supérieur à r.

385 Démonstration : - La propriété est locale donc elle résulte immédiatement du théorème 3.8.20.

386 Corollaire 3.9.62. - Soient V et V′ deux variétés de classe C^m, de dimension n et m respectivement, f une application de V dans V′ de classe C^m. On suppose que f est une immersion (resp. une submersion) en un point a ∈ V. Alors f est une immersion (resp. une subsmersion) dans voisinage de a.

387 Démonstration : - C’est une conséquence du corollaire 3.8.21 puisqu’il s’agit d’une propriété locale.

388 Définition 3.9.63. Soient V et W deux variétés de classe C^m, de dimension N et n respectivement. On suppose que W ⊂ V et on note par i l’injection canonique de W dans V. On dit que W est :

389 une sous-variété immergée si i est une immersion.

390 une sous-variété plongée ou tout simplement une sous-variété si i est un plongement.

391 une sous-variété fermée si i est un plongement propre.

392 Remarque 17 - Si W n’est pas contenue dans V, et si f est une application injective de W dans V, on peut transporter la structure de W sur son image f(W). Dans ces conditions, suivant que f est une immersion, un plongement ou un plongement propre, f(W) est une sous-variété immergée, une sous-variété ou une sous-variété fermée de V.

393 Remarque 18 - Soit V une variété de classe C^m et de dimension n, W une sous-variété immergée de V. Puisque i l’injection canonique de W dans V immersion, ceci permet d’identifier l’espace tangent T(x; W) à un sous-espace de T(x; V) pour tout x ∈ W.

394 Proposition 3.9.64. - Soient V une variété de classe C^m de dimension N, W une sous-variété immergée de V de classe C^m et de dimension n. Pour tout a ∈ W, il existe une carte (U, φ) de W autour de a et une carte (Ω, ψ) de V autour de a tel que l’application

395 dans φ(U). En particulier, si (U₁, φ₁) est une carte autour de a dans W, φ₁(x) = (y₁, y₂, . . . , y_n), il existe une carte (U₂, φ₂), φ₂(x) = u₁, u₂, . . . , u_N), alors i o u_j = y_j dans un voisinage de a ∈ W.

396 Démonstration:

397 Proposition 3.9.65. - Soit W une partie fermée d’une variété V de classe C^m de dimension N. On suppose que, pour tout a ∈ W, il existe une carte (U,φ) autour de a tel que :

398 Alors W peut être muni d’une structure de variété de classe C^m qui en fait une sous-variété immergée de V.

399 Démonstration:

400 Corollaire 3.9.66. - Soit V une variété de classe C^m et de dimension N, F₁, F₂, . . . , F_l, (1 ≤ l ≤ N), des fonctions de classe C^k sur V. On pose :

401 On suppose que les différentielles {(dF_i)_a : 1 ≤ i ≤ l} est un système libre pour tout a ∈ W. Alors W est une sous-variété immergée de V de dimension N – 1.

402 Démonstration:

403 Théorème 3.9.67. Soient V une variété de classe C^m et de dimension n et W un sous-ensemble de V. W est une sous-variété de V de dimension p, si et seulement si pour tout a ∈ W, il existe une carte locale (U, φ) de V autour de a telle que [17] :

404 Démonstration : -

405 Corollaire 3.9.68. - Soient V une variété de classe C^m et de dimension n et W une sous-variété de V. Alors si (U_i, φ_i)_i∈ esr un atlas de V, la famille \(\left(U_i \cap W,\left.\varphi_i\right|_{U_i \cap W}\right)_{i \in I}\) est un atlas sur W pour une structure de variété de classe C^m et de dimension p.

406 Démonstration : : Il s’agit d’une simple vérification.

407 Définition 3.9.69. Soient X et Y deux espaces localement compacts. On dit qu’une application f de X dans Y est localement propre si, pour tout y ∈ f(X), il existe un voisinage compact V de y dans Y tel que l’image réciproque f^–1(V) soit compact.

408 Proposition 3.9.70. Soient X et Y deux espaces localement compacts, f une application de X dans Y est localement propre. Alors f est une application propre si et seulement si f(X) est fermé dans Y.

409 Démonstration : - Si f est une application continue propre, l’image de toute partie fermée est fermée d’après le théorème 2.8.7, donc en particulier f(X) est fermé. Réciproquement, soit K un compact de Y, alors H = K ∩ f(X) est encore compact puisque f(X) est fermé. Pour tout y ∈ H, il existe un voisinage compact V_y de y dont l’image réciproque est un compact de X. Puisque H est compact, on peut le recouvrir à l’aide d’un nombre fini de tels voisinages, soit V₁, V₂, . . . V_N. Alors

410 est une partie compacte comme réunion d’un nombre fini de compacts, ce qui prouve notre assertion.

411 Proposition 3.9.71. - Soit V une variété de classe C^m, W une sous-variété immergée de V. Alors W est une sous-variété si et seulement l’injection canonique est localement propre.

412 Démonstration : - Supposons i localement propre et soit a ∈ W. Il existe un voisinage compact K(a) dans V tel que W ∩ K(a) soit un voisinage compact de a dans W. La restriction de i à voisinage de a est une bijection continue sur le compact W ∩ K(a) (topologie induite par V). C’est donc une application bicontinue. Comme la propriété de continuité est locale, cela prouve que » est bicontinue de W sur i(W).

413 Réciproquement, soit H(a) un voisinage compact de a dans W (W est localement compact comme toute variété). Puisque t est un homéomorphisme, H(a) est aussi un voisinage compact de a pour la topologie induite par V. Il existe donc un ouvert U(a) de V tel que U(a) ∩ W ⊂ H(a). Mais V étant aussi localement compact, il existe un voisinage compact K(a) de V tel que K(a) ⊂ U(a). Mais alors K(a) ∩ W ⊂ H(a). Comme K(a) ∩ W est fermé dans W, et que H(a) est compact, donc K(a) ∩ W est un compact de W. Donc l’injection i est bien localement propre et la proposition est démontrée.

414 Théorème 3.9.72. Soient V une variété de classe C^m et de dimension n et W un sous-ensemble de V. W est une sous-variété fermée de V de dimension p, si et seulement si pour tout a ∈ W, il existe un recouvrement (U_i) de V tel que pour tout i, on ait :

415 Démonstration:

416 Exemple 12 - Toutes les sous-variétés que nous introduites dans l’espace affine \(\mathcal{E}\) sont des sous-variétés au sens de la définition 3.9.63 grâce au théorème 3.9.3.

417 Si W est une partie ouverte, nous avons vu que W est une variété pour la structure induite. En fait, W est une sous-variété et la structure de variété induite coïncide avec la structure introduite dans la proposition 3.9.23.

418 Théorème 3.9.73. - Soient V₁ et V₂ deux variétés de classe C^m, de dimension n et N respectivement, f une application de classe C^m de V₁ dans V₂. On suppose que f est de rang constant l dans V₁. Dans ces conditions

420 Démonstration : -

421 Corollaire 3.9.74. - Soit V et W deux variétés de classe C^m, f un plongement de V dans W. Alors f(V) est une sous-variété de W et f un difféomorphisme de V sur f(W).

422 Proposition 3.9.75. - Soit V une variété compacte de classe C^m, f une immersion injective de V dans une variété W. Alors f est un plongement, en particulier f(V) est une sous-variété de W.

423 Démonstration : -

424 Proposition 3.9.76. - Soient V₁ et V₂ deux variétés de classe C^m, f une application de classe C^m de V₁ dans V₂. On suppose que f est une immersion en un point a ∈ V₁. Alors il existe un voisinage ouvert U de a dans V₁ tel que la restriction de f à U soit un plongement de U dans V₂; f(U) est une sous-variété et f est un difféomorphisme de classe C^m de U sur f(U).

425 Démonstration : -

426 Remarque 19 - Même si l’application Φ est une bijection, et même si l = n, on aurait tort de croire que l’image par Φ de l’ouvert \(\mathcal{O}\) tout entier soit une variété de \(\mathcal{E}\). Considérons par exemple une lemniscate de Bernoulli dans le plan R². Prenons, sur cette lemniscate, le sens de parcours 1, 2, 3, 4 indiqué par les flèches. On peut trouver une bijection de classe C^∞, Φ : u ↦ Φ(u) de la droite réelle R dans le plan R², telle que Φ(R) soit exactement la lemniscate, et de manière que, lorsque u tend vers –∞ (resp. +∞), Φ(u) tende vers le point double sur la branche 1 (resp. 4).

427 La dérivée Φ′(a) est de rang 1 en tout point α de R, autrement dit x′(u) et y′(u) ne sont jamais simultanément nuls; en outre Φ est une bijection [18]. Cependant Φ n’est pas un homéomorphisme, car on peut trouver des points de la lemniscate convergeant vers le point double, et pour lesquels u, au lieu de converger vers 0, converge vers + ∞ ou –∞; d’ailleurs la lemniscate est compacte et R ne l’est pas. L’image Φ(R) n’est pas une variété, à cause de son point singulier à l’origine; cependant, si l’on considère α = 0, il est possible de trouver un voisinage de ce point, par exemple l’intervalle ] – A, +A[, où A est un nombre > 0 quelconque, tel que l’image de cet intervalle par Φ soit une variété.

428 Remarque 20 - Supposons que n ≥ N et l = N. L’hypothèse que Φ′(α) est de rang l = N, pour tout α de \(\mathcal{O}\), signifie simplement que c’est une surjection de Kⁿ sur E. Alors Φ(\(\mathcal{A}\)), variété de dimension N d’un espace affine de dimension N, est simplement un ouvert. Donc si Ω est un ouvert de \(\mathcal{O}\), Φ(Ω) est un voisinage de chacun de ses points, donc un ouvert, et nous retrouvons le fait que Φ est une application ouverte (théorème 3.8.13). La première partie du théorème en résulte aussi; si on sait seulement que Φ′(α₀) est de rang N, pour un point α₀ particulier, il y a au moins un mineur de rang N de la matrice dérivée (pour un référentiel quelconque de \(\mathcal{E}\)) qui est ≠ 0 en α₀, mais ce mineur étant continu, il est différent de 0 en tous les points α d’un ouvert \(\mathcal{O}\)₁ ⊂ \(\mathcal{O}\) contenant α₀, et Φ est une application ouverte de \(\mathcal{A}\)₁ dans \(\mathcal{E}\), et par suite l’image par Φ de tout voisinage de α₀ est un voisinage de α₀ = Φ(α₀) dans \(\mathcal{E}\).

429 Remarque 21 - Dans le cas où l > N, l’application Φ n’est naturellement pas injective, et chacun des points de la variété ∧ = Φ(\(\mathcal{A}\)) est l’image d’une infinité de points de \(\mathcal{A}\). Si en effet x₀ = (y₀, z₀) est un point de λ, on pourra encore choisir w arbitrairement dans \(\mathcal{A}\)″, calculer alors v = Λ(y₀, w), et le point x₀ considéré sera l’image du point u = (v, w) = (Λ(y₀, w), w). Ainsi, lorsqu’on restreint Φ à \(\mathcal{A}\), l’image réciproque de x₀ est l’ensemble des points (v, w) de \(\mathcal{A}\) pour lesquels on a w ∈ \(\mathcal{A}\)′, v = Λ(y₀, w) ; c’est donc une variété de Kⁿ, de dimension n – l, et de classe C^m, définie par la relation explicite précédente. Au contraire, Φ est injective (pour \(\mathcal{A}\) assez petit) si l = n.

430 Remarque 22 - Naturellement le présent théorème redonne aussi le théorème 3.9.3 Si en effet pour tout a de Σ, il existe une représentation paramétrique vraie Φ : \(\mathcal{O}\) ↦ Φ(\(\mathcal{O}\)), Φ(α) = a, Φ partout de rang l = n, alors le théorème dit qu’il existe un voisinage ouvert \(\mathcal{A}\) de α dans \(\mathcal{O}\) tel que Φ(\(\mathcal{A}\)) = ∧ soit une variété. Mais Φ est en outre supposé être un homéomorphisme de \(\mathcal{O}\) sur un ouvert de Σ, donc il existe un voisinage ouvert \(\mathcal{V}\)_i de a dans \(\mathcal{E}\) tel que ∧ = Σ ∩ \(\mathcal{V}\)₁; mais alors, si tout point a de Σ a un voisinage ouvert Vi dans \(\mathcal{E}\) tel que Σ ∩ \(\mathcal{V}\)₁ soit une variété, on en déduit aussitôt que Σ elle-même est une variété.

431 Remarque 23 - Lorsque le rang de l’application Φ n’est pas constant, il n’existe plus aucun théorème permettant d’affirmer que l’image d’un voisinage de α par Φ ait une structure simple. Considérons, par exemple, l’application Φ de R² dans R³ définie par les formules (r, φ) ↦ (x, y, z) avec :

432 En un point α = (0, φ₀), le rang de l’application dérivée de Φ est égal à 1, parce que \(\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\) est nulle, mais aux points voisins, le rang est égal à 1 ou à 2 . L’image par Φ de R² n’est autre que le cône de R³ d’équation x² + y² – z² = 0, dont Φ est une représentation paramétrique non vraie. L’image par Φ de tout voisinage du point a précédent est un voisinage du sommet du cône, qui n’est pas une variété à cause du point singulier au sommet.

433 Proposition 3.9.77. - Soient V₁, V₂, des variétés de classe C^m, W une sous-variété de V₁, f une application de V₁ dans W. Alors f est de classe C^k si et seulement si i o f est de classe C^m de V₁ dans V₂.

434 Démonstration:

435 Théorème 3.9.78. Soient V une variété de classe C^m et de dimension n et W un sous-variété immergée de V. Pour tout a ∈ W, il existe un voisinage ouvert U de a dans W tel que pour toute fonction f définie dans U de classe C^m, il existe une fonction g définie dans un ouvert Ω de V de classe C^m tel que U ⊂ Ω et la restriction de g à U est égale à f.

436 Démonstration : -

437 Théorème 3.9.79. - Soit V une variété de classe C^m, W une sous-variété de V. Un germe de fonction continue g_a en a ∈ W est de classe C^m si et seulement si il existe un germe G_b de fonction de classe C^m en b = i(a) tel que G_b = i o g_a.

438 Réciproquement si i est une injection continue de W dans V possédant cette propriété, W est une sous-variété immergée de V.

439 Démonstration:

440 Théorème 3.9.80. - Soit V une variété de classe C^m, à base dénombrable, W une sous-variété fermée. Alors pour tout f ∈ C^k(W), il existe F ∈ C^m(V) telle que f = F o i.

441 Démonstration:

442 Théorème 3.9.81. Soient V une variété de classe C^m (m ≥ 1, de dimension N sur le corps R des réels, à base dénombrable, et W une sous-variété fermée de classe C^m de dimension n. Soit g une fonction définie sur W, à valeurs dans un espace de Banach E, et de classe C^m. Elle est prolongeable à V, en une fonction G de classe C^m à valeurs dans E.

443 Démonstration : Il suffit de nous ramener aux conditions du corollaire 3.9.37. Or, si nous considérons un point a de V, on peut trouver un voisinage ouvert U_a de a dans V, et une carte φ_a, C^m-difféomorphisme d’un ouvert Θ_a de R^N sur U_a. On peut en outre supposer, si l’on écrit R^N sous forme d’un produit Rⁿ × R^N–n et qu’on représente chacun de ses points x comme un couple (y, z) avec y ∈ Rⁿ et z ∈ R^N–n, que l’application φ_a amène l’intersection Θ_a ∩ Rⁿ sur U_a ∩ V. Le problème de prolongement de g de V ∩ U_a à U_a est alors ramené au problème de prolongement de la fonction h = f o φ_a, définie sur Θ_a ∩ Rⁿ, à l’ouvert U_a ou tout au moins à un voisinage de \(\alpha=\varphi_a^{-1}\) dans cet ouvert. Or un tel prolongement est évident dans R^N : il est défini par la fonction (y, z) ↦ h(y).

Fonctions dépendantes et fonctions indépendantes.

444 Soit φ₁, φ₂, . . . , φ_N, N fonctions scalaires de classe C¹ de n variables u₁, u₂, . . . , u_n. Elles définissent une application Φ : u ↦ x = Φ(u), de classe C¹, d’un ouvert \(\mathcal{O}\) de Kⁿ dans K^N.

445 Quand dira-t-on que ces fonctions son dépendantes ou indépendantes, au voisinage d’un point α de \(\mathcal{O}\) ?

446 Soit a = Φ(α).

447 1er Cas - Indépendance

448 Supposons que le rang de Φ′(α) soit N, le nombre de fonctions. Autrement dit, l’un des mineurs de rang N de la matrice dérivée, matrice des \(\frac{\partial \varphi_i}{\partial u_j}(\alpha)\), i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . . , n, est ≠ 0; cela exige naturellement n ≥ N, le nombre des variables doit être au moins égal au nombre des fonctions. Alors le théorème 3.8.13 nous dit que l’image par Φ de tout voisinage ouvert de α est un voisinage de a. Alors φ₁(u), φ₂(u), . . . , φ_N(u), peuvent prendre des valeurs arbitraires, pourvu qu’elles soient assez voisines de a₁, a₂, . . . , a_N. Si donc il existe entre les φ_i une relation de la forme