Chapitre 6. Théorème des fonctions implicites dans ℝ² et ℝ³

Nous allons essayer de regarder à quelle condition une « relation » de la forme f (x, y) = 0 peut se résoudre, au moins localement, sous la forme y = φ(x). Nous partons d’une courbe donnée par une équation f (x, y) = 0 dite implicite et nous essayons d’en donner une équation traditionnelle y = φ(x). C’est quelque chose que l’on a rencontré au lycée, avec l’équation x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, équation (dans les bons cas) d’un cercle.
Prenons par exemple l’ellipse d’équation 4x2 + y2 = 1. Est-il possible, au voisinage de tout point (x0, y0) de cette ellipse, de résoudre cette équation sous la forme y = φ(x) ?
C’est possible au voisinage d’un point où y0 est strictement positif, et l’on peut alors dire que – du moins au voisinage du point (x0, y0) – on a . On peut faire de même au voisinage d’un point où y0 est strictement négatif, en prenant .
Mais il est impossible de le faire au voisinage du point (−1/2, 0) ou du point (1/2, 0) puisqu’alors on ne saurait pas choisir entre le signe à mettre devant la racine : pour chaque valeur de x au voisinage de ±1/2, il y a deux valeurs de y qui donnent un point de l’ellipse.
Le problème n’admet donc pas toujours une solution. Nous allons nous limiter au cas simple décrit par le théorème des fonctions implicites qui suit.
On désigne par f une application de classe C1 d’un ouvert U de ℝ2, à valeurs dans ℝ.
Autour du point (x0, y0), on peut donc résoudre localement l’équation f (x, y) = 0 sous la forme y = φ(x)…