Etant donnée une mesure abstraite μ ≥ 0, σ-finie sur Ω et une partie quelconque Y ⊂ Ω, on définit la mesure induite μy. Nous donnons les critères de μy-mesurabilité et μy-intégrabilité. Puis, p étant une fonction positive sur Ω, on définit la mesure pμ. On donne les critères de pμ-mesurabilité et pμ-intégrabilité. On définit les mesures μ-dominées, μ-majorées et μ-singulières. On donne alors les théorèmes de Lebesgue-Radon-Nikodym d’abord pour les mesures positives puis pour les mesures à valeurs dans la droite achevée enfin pour les mesures à valeurs dans un espace de Banach de base positive. On donne de nombreux exemples et on énonce sans démonstration les théorèmes qui affirment que les espaces réflexifs et les duals séparables ont la propriété de Radon-Nikodym c’est-à-dire que toute mesure à valeurs dans ces espaces, majorée, est de base positive. On introduit la notion de prolongement borélien et on utilise ces résultats pour montrer que toute mesure de base positive admet un prolongement borélien. On achève ce § en donnant les critères d’intégrabilité et l’intégrale d’une fonction à valeurs scalaires (resp. vectorielles) par rapport à une mesure vectorielle (resp. scalaires) de base positive.
Proposition 5.10.1. - Soient (X,\mathcal{S},\mu ), un espace mesuré σ-fini, Y ⊂ X une partie non nécessairement mesurable. On note {{\mathcal{S}}_{\mathcal{Y}}} la tribu trace de \mathcal{S} sur Y c’est-à-dire {{\mathcal{S}}_{Y}}=\{A\cap Y:A\in \mathcal{S}\}. AlorsPour tout B\in {{\mathcal{S}}_{Y}…