Notes

• (*)
  (5.12.4) est exprime aussi que le produit tensoriel \({{\mathcal{T}}_{1}}\otimes {{\mathcal{T}}_{2}}\) des tribus \({{\mathcal{T}}_{1}}\) et \({{\mathcal{T}}_{2}}\) est la plus petite tribu rendant les projections pr ₁ et pr ₂, respectivement \(\left( {{\mathcal{T}}_{1}}\otimes {{\mathcal{T}}_{2}},{{\mathcal{T}}_{1}} \right)\)-mesurable et \(\left( {{\mathcal{T}}_{1}}\otimes {{\mathcal{T}}_{2}},{{\mathcal{T}}_{2}} \right)\)-mesurable. Il faut noter l’analogie avec la définition de la topologie produit.
• (*)
  La notation dμ(x) dv(y) est évidemment incorrecte, puisque les variables x et y sont muettes ! par contre, dans la formule (1), c’est une notation correcte, x et y figurent deux fois, et peuvent être remplacées d’autres symboles arbitraires. De même si λ = μ ⊗ v, il est correct d’écrire

  \[d\lambda (x,y)\,=\,d\mu (x)\,\otimes \,d\nu (y)\quad \text{ ou }\quad d\mu (x)\,d\nu (y).\]
• (*)
  Pour des mesures à valeurs dans des espaces vectoriels de dimension finie, on a des résultats analogues, mais non pour des mesures dans des espaces vectoriels normés de dimension infinie.
• (*)
  Indépendamment de la recherche du produit tensoriel, nous démontrons plus : deux mesures λ ₁ et λ ₂, sur X = Y, qui prennent la même valeur pour toute fonction φ de \({{\mathcal{C}}_{c}}(X\times Y)\) de la forme \(u\otimes v,u\in {{\mathcal{C}}_{c}}(X),v\in {{\mathcal{C}}_{c}}(Y)\), prennent la même valeur pour toute fonction φ de \({{\mathcal{C}}_{c}}(X\times Y)\), donc sont égales.
• (*)
  Contrairement à ce qui a lieu dans les théorèmes de Fubini, on part de mesurabilités par rapport à \({{\mathcal{T}}_{1}}\) et à \({{\mathcal{T}}_{1}}\) pour en déduire une mesurabilité par rapport à\({{\mathcal{T}}_{1}}\otimes {{\mathcal{T}}_{2}}\).
• (*)
  En dehors du cas particulier étudié, ce résultat ne subsiste pas en général. Il est, par exemple, évidemment faux pour B ≡ 0. De même, si f ≡ 0, f g ≡ 0, donc μ ₁ ⊗ μ ₂-intégrable sans que on puisse en déduire que g est μ ₂-intégrable.
• (*)
  Notation incorrecte, voir note (*) qui précède les notations (5.4.13). Tous les espaces facteurs sont les mêmes, c’est donc toujours la même mesure ! On aurait le droit de dire : 1(x ₁) dx ₁, 1(x ₂) dx ₂, …, 1(x _n) dx_n , ce qui est en effet toujours la même mesure !