Posons
L’intégrale est absolument convergente pour x = ℜe z > 0 (pour t → ∞, elle est toujours absolument convergente à cause de e-t. Pour t → 0 ; |e-t tz-1| ~ tx-1, d’où absolue convergence pour x − 1 > − 1 ou x > 0). La convergence absolue est uniforme pour 0 > α ≤ x ≤ A < + ∞, car alors
or \int_0^1 tα -1 dt et \int_1^{\infty} tA-1 e- t dt sont finies.
Done z ↦ Γ (z) est une fonction continue de z pour ℜe z > 0, e - t tz - 1 étant séparemment continue en z (et même continue en t et z) pour t > 0, x = ℜe z >0 (théorème de Lebesgue 5.7.25). Dérivons formellement
Cette formule est valable pour x = ℜe z > 0 si l’intégrale (6.12.1) est elle aussi uniformément convergente pour 0 < α ≤ x ≤ A < + ∞. Or il en est bien ainsi, comme ci-dessus, parce que
On calculera de même les Jérivées suivantes. Remarquons en particulier
ce qui montre que Γ est convexe (comme fonction de la variable reélle x). Γ(z) est done une fonction indéfiniment dérivable de la variable complexe z (holomorphe (définition 7.1.1) pour x = : ℜe z > 0.Application
(car Γ (l) = \int_0^{+\infty} e- t dt = 1).Remarque 1 - La fonction z ↦ Γ(z + 1), qu’on peut appeler z !, définie pour x = ℜe z > −1, prend la valeur n! pour z = n entier plus grand que 1. Noter qu’on trouve 0! = Γ(l) = 1.
Quel que soit z ≠ 0, - 1, - 2,…, la quantité
est définie pour n entier strictement positif assez grand. Sa valeur est alors indépendante de n ; car si on remplac…