Chapitre 9. Fractions continues

Dans ce chapitre, nous définissons, dans un contexte général, les fractions continues et étudions certaines de leurs propriétés algébriques. En particulier, nous exhibons des relations algébriques qui simplifient leur calcul.
Nous spécialisons ensuite l’étude aux séries de Taylor de fonctions analytiques.
Il existe plusieurs théorèmes de convergence des fractions continues, qu’on peut trouver, en particulier, dans la référence [6], section 7.4.
Comme illustration, dans la section 9.3.1 nous montrons comment développer les solutions d’une classe d’équations de Riccati en fraction continue.
On définit un développement en fraction continue dans un premier temps d’un nombre réel ou complexe f par la formule de récurrence,
même si par la suite le seul cas qui va nous intéresser est celui des fonctions.
Cette représentation est appelée fraction continue. La paramétrisation en terme de deux jeux de paramètres {ak} et {bk}, au lieu d’un, est redondante, mais de cette manière elle peut ensuite être facilement spécialisée à tous les cas que l’on peut rencontrer.Fractions continues arithmétiques. Un champ d’application concerne les fractions continues arithmétiques, les coefficients {ak} et {bk} sont alors des entiers.Exemple : fractions continues périodiques. On montre que toutes les fractions continues correspondant à des suites périodiques de coefficients ak, bk sont des solutions d’équations quadratiques. Le cas le plus simple correspond à ak = a, bk = …