Chapitre 7. Propriétés des fonctions holomorphes

7.1.1. Soient R\in {{\mathbb{R}}^{*}} et f\in \mathcal{H}\left( D\left( 0,R \right) \right). D’après 6.5.2, si z ∈ D(0, R), on a
où (an)n est une suite de nombres complexes.
Si r ∈ ]0, R[, notons γr le cercle C(0, r) parcouru dans le sens direct (6.1.5). D’après 6.5.2, pour n\in \mathbb{N}, on a :
On en déduit immédiatement le résultat suivant :Théorème. (Inégalités de Cauchy). Avec les notations précédentes, pour tout γ ∈ ]0,R[ et tout n\in \mathbb{N}, on a :7.1.2. On appelle fonction entière tout élément de \mathcal{H}\left( \mathbb{C} \right).Corollaire. (Théorème de Liouville). Toute fonction entière et bornée est constante.Démonstration. Si M ⩾ |f(z)| pour tout z\in \mathbb{C}, pour tout r > 0 et tout n\in {{\mathbb{N}}^{*}}, on a |an| ⩽ Mr–n (7.1.1). En faisant tendre r vers +∞, on obtient an = 0 si n ⩾ 1.Corollaire 7.1.3. (Théorème de d’Alembert). Tout polynôme d’une variable à coefficients complexes et non constant a au moins une racine dans \mathbb{C}.Démonstration. Soit P\in \mathbb{C}\left[ X \right]\backslash \mathbb{C}. Il est clair que |P(z)| tend vers +∞ si |z| tend vers +∞. Par suite, si P n’a aucune racine dans \mathbb{C}, z → 1/P(z) est une fonction entière bornée. D’après 7.1.2, elle est constante, donc le polynôme P est constant. Contradiction.Proposition 7.2.1. Soient U un ouvert de \mathbb{C} et f une fonction continue sur U. Les conditions suivantes sont équivalentes :Pour tout disque D′(a, r) contenu dans U, on a :Pour tout disque D′(…