Chapitre VIII. Méthodes numériques à un pas

L’objectif de ce chapitre est de décrire un certain nombre de méthodes permettant de résoudre numériquement le problème de Cauchy de condition initiale y(t0) = y0 pour une équation différentielle
où f : [t0, t0 + T ] × ℝ → ℝ est une fonction suffisamment régulière. Nous avons choisi ici d’exposer le cas des équations unidimensionnelles dans le seul but de simplifier les notations dans les algorithmes qui vont être décrits ; le cas des systèmes dans Rm est tout à fait identique, à condition de considérer la variable y comme une variable vectorielle et la fonction f comme une fonction vectorielle.
Étant donné une subdivision t0 < t1 < … < tN = t0 + T de [t0, t0 + T ], on cherche à déterminer des valeurs approchées y0, y1, …, yN des valeurs y(tn) prises par la solution exacte y. On notera les pas successifs
et
le maximum du pas.
On appelle méthode à un pas une méthode permettant de calculer yn+1 à partir de la seule valeur antérieure yn. Une méthode à r pas est au contraire une méthode qui utilise les r valeurs antérieures yn, …, yn−r+1 afin de faire le calcul de yn+1 (ces valeurs doivent donc être stockées en mémoire lors de l’implémentation).Les méthodes à un pas sont les méthodes de résolution numérique qui peuvent s’écrire sous la forme
où Φ : [t0, t0 + T ] × ℝ × ℝ → ℝ est une fonction que l’on supposera continue.
Dans la pratique, la fonction Φ(t, y, h) peut n’être définie que sur une partie de la forme [t0, t0 + T ] × J × [0, δ] où…