Ce livre, issu d’un cours d’intégration dispensé durant plusieurs années en Licence de Mathématiques à l’Université Paris XII Val de Marne puis à Sorbonne Université (anciennement Université Paris VI Pierre & Marie Curie) ainsi que depuis 2014 en troisiéme année (niveau L3) à l’INSA Rennes, est prioritairement destiné aux étudiants achevant leur parcours de Licence (L3) ou entamant un parcours de Master (M1) spécialisé en Mathématiques. À un premier niveau de lecture, nous y exposons les bases indispensables de la théorie de Lebesgue et ses premiéres applications. Les connaissances requises à l’usage de cet ouvrage sont celles d’un étudiant issu de deuxième année (niveau L2). En outre, nous avons souhaité que le lecteur puisse y trouver matière à référence au-delà de la licence, en maîtrise, pour l’agrégation, voire en troisième cycle. C’est dans cette optique que nous avons complété ce premier niveau de lecture par la démonstration détaillée des grands théorèmes classiques de la théorie (construction de la mesure de Lebesgue, théorèmes de Riesz, de Lusin, etc.). Parallèlement, nous avons mis l’accent, à travers de nombreuses applications, sur la puissance de l’intégrale de Lebesgue dans tous les problèmes mettant en jeu des interversions des symboles d’intégrale et de limite. Chaque chapitre s’achève par une section d’exercices, mêlant des énoncés de simple manipulation des définitions et des énoncés plus ambitieux.
Pour la plupart des exercices, le lecteur peut s’appuyer sur des indications re- groupées en fin de volume, dans le chapitre 18. Nous savons, en effet, par expérience que des indications plutôt que des corrigés détaillés des exercices, permettent au lecteur - nous pensons particulièrement aux étudiants qui doivent être acteurs de leur apprentissage des mathématiques et se confronter aux dificultés de la discipline (Figure 1 ci-contre) - de mieux s’approprier les techniques fondamentales de l’integrale de Lebesgue (théorème de convergence dominée, théorèmes de Fu- bini, changement de variables, convolution, transformées de Fourier et de Laplace)…