La convolution est une nouvelle opération sur les fonctions “raisonnablement” intégrables. Elle joue un rôle fondamental dans les problèmes d’approximation régularisante, c’est-à-dire lorsque l’on souhaite approcher une fonction par des fonctions plus régulières qu’elle.Notations : (a) Pour toutes parties A et B de \mathbb{R}^d, on pose
(b) Le symbole | · | désignera une norme sur \mathbb{R}^d. Lorsqu’un résultat nécessite le caractère euclidien de la norme, cela sera clairement précisé.Rappels : (a) Une fonction g: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{K} est à support compact si elle est nulle en dehors d’un compact ou si, ce qui revient au même, son support supp(f):=\overline{\{f \neq 0\}} est compact dans \mathbb{R}^d.
(b) Soit \mathscr{C}_K\left(\mathbb{R}^d, \mathbb{K}\right) l’ensemble des fonctions continues à support compact de \mathbb{R}^d dans \mathbb{K}. On fera largement usage du résultat de densité suivant :
Ce théorème a été établi au chapitre 7 dans sa version uni-dimensionnelle et dans la section 9.7 (théorème 9.10) dans le cas général.Définition 14.1. Pour tout a \in \mathbb{R}^d et pour toute fonction f:\left(\mathbb{R}^d, \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^d\right)\right) \rightarrow \mathbb{K} borélienne, la a-translatée de f est définie parRemarques : • Un autre opérateur de translation, défini lui de \mathbb{R}^d dans lui-même par τa(x) = x — a et également noté τa, a été introduit a la section 6.1. On prendra garde que (τaf)(x) = f (x — a) ≠ f (x) …