Dans ce paragraphe préliminaire ont été regroupés les résultats relatifs au maniement des ensembles et des fonctions qui se révèlent absolument indispensables pour aborder la théorie de la mesure et de l’intégration. Il s’agit pour l’essentiel de rappels.
Soit X un ensemble, \mathscr{P}(X) l’ensemble de ses parties et A, B \in \mathscr{P}(X). On note \begin{array}{*{35}{l}} A\cup B & := & \{x\in X:x\in A\text{ ou }x\in B\}, \\ A\cap B & := & \{x\in X:x\in A\text{ et }x\in B\}, \\ ^{c}A & := & \{x\in X:x\notin A\}, \\ A\backslash B & := & \{x\in X:x\in A\text{ et }x\notin B\}=A{{\cap }^{c}}B, \\ A\Delta B & := & \{x\in X:x\in A\cup B\text{ et }x\notin A\cap B\} \\ {} & = & A\cup B\backslash A\cap B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A). \\\end{array}
Soit f : X → Y, Ai ⊂ X, Bi ⊂ Y, i ∈ I (I ensemble quelconque). On associe canoniquement à f les fonctions “image directe” fd et “image réciproque” f_r^{-1} définies par\begin{array}{*{35}{l}} {{f}_{d}}: & \mathcal{P}(X) & \to & \mathcal{P}(Y) \\ {} & \,\,\,\,\,\,\,\,A & \mapsto & {{f}_{d}}(A):=\{f(x),x\in A\} \\\end{array}\begin{array}{*{35}{l}} f_{r}^{-1}:&\mathcal{P}(Y)&\to &\mathcal{P}(X) \\ {}&\,\,\,\,\,\,\,B&\mapsto &f_{r}^{-1}(B):=\{x\in X:f(x)\in B\} \\\end{array}
(Par souci de simplicité, et malgré les risques de confusion, on note presque systématiquement f au lieu de fd et f−1 au lieu de f_r^{-1}.)
Ces applications ensembliste…