Chapitre 1. Analyse en Composantes Principales

L’Analyse en Composantes Principales (ACP) s’applique à des tableaux croisant des individus et des variables quantitatives, appelés de façon concise tableaux Individus×Variables quantitatives.
Selon un usage bien établi, les lignes du tableau représentent les individus et les colonnes représentent les variables. À l’intersection de la ligne i et de la colonne k se trouve la valeur de la variable k pour l’individu i. La figure 1.1 illustre ces notions et complète les notations. Le tableau 2.1 page 36 en est un exemple.
Les termes individu et variable recouvrent des notions différentes. Par exemple, dans le tableau étudié au chapitre 7, les individus sont des vins et les variables sont des critères décrivant ces vins (acidité, astringence, etc.). Les questions que l’on se pose sur les individus et celles que l’on se pose sur les variables ne sont pas de même nature.
À propos de deux individus, on essaie d’évaluer leur ressemblance : deux individus se ressemblent d’autant plus qu’ils possèdent des valeurs proches pour l’ensemble des variables. En ACP, la distance d(i, l) entre deux individus i et l est définie par :
À propos de deux variables, on essaie d’évaluer leur liaison. En ACP, la liaison entre deux variables est mesurée par le coefficient de corrélation linéaire (dans de rares situations, on utilise la covariance), noté usuellement r. Soit :
avec {{{\bar{x}}}_{k}} et sk la moyenne et l’écart-type de la variable k.
Appliquée à un tel tableau, l’objectif général de l’ACP est une étude exploratoire…