Chapitre 2. Calcul intégral et séries de Fourier

La définition est très simple, indépendante de la notion de fonction ℒ-intégrable :
On peut prendre des intervalles de n’importe quelle nature (ouverts ou fermés). On prend le plus souvent des intervalles ouverts, de façon que la réunion reste encore un ouvert de ℝ. C’est plus joli, mais sans plus.
Pour tout ε > 0 , il existe donc une suite d’intervalles {]an, bn[}n∈ℕ telle que :Dans ℝn, on remplace « intervalle » par « pavé » et on remplace la longueur d’un intervalle par la mesure (surface dans le plan et volume dans l’espace) d’un pavé, à savoir le produit de ses longueurs diverses et variées.
Les exemples classiques de partie négligeable sont les ensembles finis ou dénombrables (par exemple ℚ) et l’ensemble de Cantor dans les réels.
On dit qu’une propriété dépendant de x est vraie presque-partout quand elle est vraie partout sauf éventuellement pour les x appartenant à une partie négligeable.
Rappelons qu’une fonction Riemann-intégrable sur ℝ est (par définition) nulle à l’extérieur d’un certain segment [a, b] et bornée. Voici d’abord le rappel de la définition, puis un raffinement de la définition, puis une condition nécessaire et suffisante assez agréable, et ayant le mérite de s’approcher de la théorie de Lebesgue.
• L’intégrale est égale à la borne supérieure des , borne prise par rapport à toutes les fonctions ϕ en escalier vérifiant ϕ ≤ f. Elle est aussi égale à la borne inférieure des , borne prise par rapport à toutes les fonction…