Chapitre 8. Exercices d’introduction : vecteurs gaussiens

Dans ce paragraphe, à titre de rappels, nous énumérons simplement des définitions et résultats essentiels concernant la notion de vecteur gaussien.
On dit que la variable aléatoire réelle X suit la loi gaussienne centrée réduite et l’on note si X admet la densité suivante (voir la figure 8.1) :
Il est facile de vérifier que cette variable aléatoire est bien centrée réduite, c’est-àdire telle que :
Plus généralement, la loi admet des moments de tous les ordres et l’on a pour tout p ∈ ℕ*:Nous définissons alors la loi gaussienne de paramètres (m, σ2) ∈ ℝ × ℝ+ comme étant celle de la variable Y = m + σX.
Si σ ˝= 0, il est équivalent de dire qu’il s’agit de la loi de densité
mais notez bien que l’on autorise le cas σ = 0 : une variable constante est considérée comme gaussienne (dite dégénérée).
Nous avons bien sûr E[Y] = m , VarY = σ2.
La fonction caractéristique de la loi vaut
Nous pouvons en déduire que si sont des variables indépendantes, alors
Une généralisation de (8.1.1) est l’égalité suivante, valable pour tout z ∊ ℂ :
Un vecteur aléatoire (X1, · · · , Xn) est dit gaussien si toute combinaison linéaire ∑aiXi est une variable aléatoire réelle gaussienne.
En particulier, les composantes Xi sont gaussiennes mais la réciproque est fausse : voir les exercices 8.2.1. et 8.2.2.
Néanmoins, il y a une réciproque partielle : si toutes les composantes Xi sont gaussiennes et mutuellement indépendantes, alors le vecteur aléatoire …