Dans ce qui précède, on s’est intéressé aux espaces usuels que sont le plan ℝ2, et l’espace ℝ3. ℝ2est de dimension 2, car pour se repérer dans le plan, il faut deux coordonnées. De même, ℝ3est de dimension 3, car pour se repérer dans l’espace, il faut trois coordonnées. Mais dans la vie réelle de l’ingénieur ou du scientifique, une grandeur n’est pas, en général, caractérisée par deux ou trois coordonnées, mais plus : ainsi, dès que l’on introduit une référence temporelle, il faut prendre en compte une donnée supplémentaire, le temps t. On se retrouve ainsi dans un espace de dimension quatre, où chaque grandeur est caractérisée par ses trois coordonnées spatiales, et sa coordonnée temporelle.De façon plus générale, il est donc utile de disposer de résultats et d’outils mathématiques permettant de gérer un nombre n de coordonnées, ce qui nous place ainsi dans un espace de dimension n ; ℝn, où on généralise les résultats déjà existants en dimension 2 ou 3, est l’exemple le plus naturel. Les résultats présentés dans ce qui suit s’appliquent encore pour un espace (vectoriel) E de dimension n, où n désigne un entier naturel non nul.
Dans ce qui suit, n et N désignent des entiers supérieurs ou égaux à 2.Propriété 6.1.1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes composantes.
Le vecteur, dont les n composantes sont nulles, est appelé vecteur nul, et noté 0.Propriété 6.1.2. Pour toute famille (x1,…,xN) de vecteurs libres :ce qui signifie que s’il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, alors les coefficients de cette même combinaison linéaire son…