1. Préliminaires de calcul différentiel

Soit f une application d’un ouvert U de ℝn à valeurs dans ℝp où n et p sont deux entiers quelconques ≥ 1.
Une application différentiable en un point a est donc une application dont l’accroissement en ce point peut être approché par une application linéaire. Une application différentiable est nécessairement continue.Remarque 1.1.
(a) On désignera par l’espace linéaire des applications linéaires de ℝn dans ℝp. Une application linéaire de ℝn dans ℝp est représentée par une matrice à p lignes et n colonnes (Lij)ij où i ∈ {1, … , p} est l’indice de ligne et j ∈ {1, … , n} est l’indice de colonne. Si h est un vecteur de ℝn , on désigne par L[h] ∈ ℝp l’évaluation de L sur h. Explicitement, si h = (h1, … , hn)T et L[h] = (v1, … , vp)T, on a pour i = 1, … , p. Ainsi s’identifie à l’espace Mat(p, n) des matrices à p lignes et n colonnes.
Il est important de noter que cette identification est liée au fait que l’on utilise les bases canoniques de ℝn et ℝp, choix qui semble aller de soi. Il sera cependant indispensable de pouvoir changer de bases et, dans ce cas, l’identification se fera par un isomorphisme différent : la matrice représentative sera modifiée par composition de matrices carrées, à droite et à gauche. Il faudra donc bien distinguer l’espace linéaire de l’espace isomorphe (après choix de bases) des matrices Mat(p, n) Pour une application différentiable au point a, on distingue la différentielle appartenant à de la (matrice) jacobienne représentative dans Mat…