1. Généralités

Dans toute cette partie II, comme le suggère le qualificatif élémentaire, on ne considérera, sauf mention expresse du contraire, que des champs de vecteurs définis sur des ouverts euclidiens. Une théorie plus générale sera abordée dans le tome 2.
Soit U un ouvert de ℝn. On désigne par l’espace des fonctions de classe et à valeurs réelles.Remarque 1.1.
La dérivation X · f est aussi appelée dérivée de Lie de f par le champ de vecteurs X. Elle est alors notée LX f. C’est cette terminologie de dérivée de Lie qui est utilisée pour l’extension de l’opérateur de dérivation aux champs différentiels plus généraux que l’on peut définir sur U : formes différentielles, champs de tenseurs, métriques riemanniennes, etc.
On dit que X est de classe si chaque composante Xi du champ est de classe . Dans ce cas, l’opérateur X envoie l’espace des fonctions de classe dans l’espace s On a donc un changement d’espace, que l’on évitera en considérant les champs de classe , ce que l’on fera, sauf mention expresse du contraire.
Il est important, pour traiter les applications, de considérer des ouverts U ≠ ℝn, et ceci pour pouvoir écarter les points où X devient infini (figure 1.1). Par exemple, considérons le potentiel newtonien relatif à k particules. Chacune des particules est repérée par six variables : les coordonnées de sa position et les composantes de sa vitesse. Donc, le système des k particules est représenté par un point de ℝ6k. Cependant on doit écarter l’ensemble fermé Δ ⊂ ℝ…