Notes

• [1]
  L’isotropie en tous points d’observation implique d’ailleurs l’homogénéité.
• [2]
  En effet la force forte qui assure la cohésion des noyaux décroît avec la distance beaucoup plus vite que la force d’attraction gravitationnelle. Quant à la la force électromagnétique, elle est proportionnelle à la charge électrique et l’on constate la neutralité électrique des grands volumes.
• [3]
  Alpha du Centaure est en fait un système de trois étoiles.
• [4]
  Parsec vient de la contraction – en anglais – de PARalax SECond angle.
• [5]
  Soit 37 galaxies, 29 amas globulaires, 28 amas ouverts, 7 nébuleuses diffuses et 4 nébuleuses planétaires.
• [6]
  Une masse solaire, M_ʘ, vaut 1,989 × 10³⁰ kg.
• [7]
  Cela peut cependant englober tout l’Univers, si celui-ci est de volume fini et de taille suffisamment petite. Les résultats récents tirés de l’analyse des anisotropies du RCF semblent cependant indiquer que ce n’est pas le cas, cf. paragraphe 7.4.5.
• [8]
  Les surfeurs anglophones pourront consulter le site : antwrp.gsfc.nasa.gov/debate/debate20.html.
• [9]
  On pourra avec profit se reporter au livre de Jean-Pierre Luminet [15] pour en savoir plus, ainsi qu’à la première partie du livre plus technique (et uniquement disponible en anglais) de James Peebles [16], l’un des protagonistes les plus éminents de cette histoire.
• [10]
  À condition toutefois que la matière soit conservée.
• [11]
  On peut imaginer d’autres types de fluctuations, où l’on fait varier l’abondance relative des différentes espèces. Si ces variations se compensent exactement, de façon à ce qu’il n’y ait pas de perturbation de la densité d’énergie totale, on parle de fluctuations isocourbes, c’est-à-dire qu’elles n’affectent pas la courbure de l’espace, seule l’équation d’état varie spatialement.
• [12]
  On peut également choisir une autre convention, selon laquelle la métrique est définie par ds² = dℓ² − c²dt², comme dans le texte de T. Damour.
• [13]
  Le cas plat est toujours une bonne approximation aux temps suffisamment reculés car dans l’équation de Friedman (7.20), le terme de courbure k/a² devient négligeable devant le terme ∝ ρ_tot, qui augmente au moins comme a³.
• [14]
  La densité d’énergie du rayonnement cosmologique fossile est donnée par ρ_γ,0 = a_ST⁴, où a_S = π²k⁴/[15c²(ℏc)³] est la constante de Stefan, ce qui donne Ω_{γ 0} = 2,6 × 10⁻⁵h⁻². La valeur de l’équation (7.30) correspond à la prise en compte de la contribution additionnelle de trois espèces de neutrinos et leurs antineutrinos, à une température de 1,95 K.
• [15]
  La dépendance temporelle du z d’un objet est en effet suffisamment faible pour être couramment négligée. Le modèle Einstein-de Sitter nous permet d’avoir aisément l’ordre de grandeur, puisque a ∝ t^2/3 ⟹ δz/z = 2/3 δt/t, et donc δz/z = 2δt/3t₀ ~ 5 × 10⁻⁹ sur un siècle.
• [16]
  Cette valeur est remarquablement en accord avec celle déterminée par Myers et al., M_SZ/M_T = 0,061 ± 0,011 h⁻¹, en utilisant l’effet Sunyaev-Zeldovich [86]. Cet effet induit une légère variation du flux du rayonnement fossile dans la direction de l’amas, qui permet d’en déduire la quantité de gaz chaud, si sa température est connue.
• [17]
  En fait les simulations numériques de formation des amas montrent que f_baryon n’est pas tout à fait représentatif de la valeur moyenne à cause de l’expulsion d’une fraction des baryons au cours de l’évolution. D’après Eke, Navarro et Frenk, on a plutôt f_baryon = (0,83 ± 0,04)Ω_b/Ω_m, ce qui donne alors Ω_m0 = 0,27 ± 0,03.
• [18]
  Valdes, Jarvis et Tyson [96] ont limité l’inhomogénéité de la distribution de masse à grande échelle par l’absence d’ellipticité cohérente détectable dans chacun des 35 champs où résidaient 44 462 galaxies choisies au hasard. La dispersion (de champ à champ) de l’ellipticité étant inférieure à 0,03, cela a permis aux auteurs de fixer une limite supérieure (à 3σ) de 0,1 pour le contraste de densité de masse sur une échelle du gigaparsec.
• [19]
  Et les objets les plus lointains de la figure 7.1, dont on a la spectroscopie, sont à z ~ 6,5 quand l’Univers avait moins de 10 % de son âge actuel.
• [20]
  La distance de luminosité se calcule à partir de sa définition, d_L = a₀S_k(χ)(1 + z) et de celle de la distance radiale comobile, a₀dχ = cdz/H(z), grâce à l’équation de Friedman qui relie le taux d’expansion au contenu de l’Univers (cf. Éqs. (7.17), (7.32)), (7.29) et (7.27) du paragraphe 7.3.1), ce qui donne
  
  où a₀ se déduit de la définition Ω_k0 ≡ k/(a₀H₀)² (et Ω_k0 = 1 − Σ_i Ω_i0).
• [21]
  La bande bleue autour de λ_B = 445 nm est aussi souvent utilisée, et dans ce cas M(B)_ʘ = 5,48.
• [22]
  Ω_m0 = 0,24 ± 0,1 sous l’hypothèse Ω_k0 = 0 (= Ω_m0 + Ω_Λ0 − 1), et une valeur non physique de Ω_m0 = −0,35 ± 0,18 si Ω_Λ0 = 0.
• [23]
  La probabilité d’un modèle est P ∝ exp −χ²/2, avec . Si certaines quantités du modèle de la mesure – certaines dimensions de l’espace des paramètres – ne nous intéressent pas (comme la magnitude absolue des SNe Ia), il suffit de prendre l’intégrale de cette (densité de) probabilité par rapport à ces variables, ce qui assure que l’incertitude qui y est attachée est bien propagée dans le résultat final. Cette intégration sur les dimensions du modèle qui ne nous intéressent pas est appelée marginalisation. La probabilité calculée est la probabilité d’obtenir les données observées dans le modèle considéré. D’après le théorème de Bayes, c’est aussi la probabilité de ce modèle et de ses paramètres, au vu des données observées, dans la mesure où tous les modèles étaient a priori équiprobables.
• [24]
  Dans un modèle phénoménologique où q(z) = q₀ + z(dq/dz)₀, les auteurs trouvent un changement de signe à z_Λ = 0,46 ± 0,13, à comparer au z_Λ = 0,76 du modèle ΛCDM complet qui est indiqué sur la figure 7.1.
• [25]
  Outre les effets classiques, comme la nécessité d’une « correction K » due au fait que l’on observe dans une bande spectrale fixe, alors que le spectre est décalé vers le rouge selon la distance ; c’est donc une partie différente du spectre au repos qui arrive dans la bande. Ce biais est néanmoins bien connu ; il peut être corrigé en prenant en compte la forme spectrale. D’autres effets doivent, et sont, aussi pris en compte, comme le biais de Malmquist et les effets de lentille gravitationnelle.
• [26]
  Il s’agit d’une décomposition en modes de Fourier, , et on a ; chacun des modes s’obtient par la transformation inverse .
• [27]
  On a , et la probabilité qu’un mode ait une amplitude δ_k est P(δ_k) ∝ exp −|δ_k|²/[2P(k)], indépendamment de sa direction (pour maintenir l’isotropie en moyenne). Les phases sont, elles aussi, sans aucune corrélation, avec une distribution équiprobable entre 0 et 2π. La transformée de Fourier inverse du spectre de puissance P(k) est la fonction de corrélation à deux points du champ, ξ(r) = ⟨δ(x)δ(x + r)⟩, et en r = 0, .
• [28]
  L’intégrale du spectre de puissance donne la variance du champ correspondant (voir la note 27). Chaque intervalle logarithmique de k = 2π/λ contribue donc ~ k³P(k) à la variance.
  Pour plus de précision, on peut procéder en considérant , la valeur de δ moyennée sur, par exemple, une sphère (ou une boule gaussienne) d’échelle caractéristique λ centrée en x, notée . Les fluctuations typiques de δ lissées à l’échelle λ sont donc indiquées par la variance , où est la transformée de Fourier de la fonction fenêtre. La contribution d’une gamme d’échelles Δ centrée autour de λ_c peut alors s’obtenir en considérant une fonction fenêtre centrée autour de λ_c et de largeur Δ. On peut choisir par exemple la gaussienne ∝ exp −(λ − λ_c)²/(2Δ²), dont la transformée est aussi une gaussienne, ∝ exp −Δ²(k − k_c)²/2 centrée autour de k_c = 2π/λ_c, ce qui permettra de raffiner l’estimation .
• [29]
  Ce qui peut se comprendre grâce à la comparaison suivante. Soit l’évolution d’un morceau sphérique d’univers, U2, légèrement surdense, par rapport à un univers U1 servant de fond de référence et ayant Ω = 1. On a alors
  
  avec . Notons que si la taille de la fluctuation, λ est supérieure à λ_H, il existe une ambiguïté due à l’impossibilité à des observateurs, respectivement à l’intérieur de U2 et à l’extérieur, de « comparer leurs notes », du moins tant que λ > λ_H . Cette ambiguïté peut être levée par le choix d’une jauge particulière, dite de flot de Hubble uniforme ; c’est-à-dire qu’on compare ρ et quand H₁ = H₂. C’est d’ailleurs un choix naturel, si λ < λ_H et σ_ρ ≪ 1. On a alors
  
  On voit que si δ ≪ 1, i.e. dans le cas linéaire, on peut prendre a₂ ~ a₁ ≡ a, et on trouve bien δ ∝ a² (∝ t) pendant l’ère de rayonnement et δ ∝ a (∝ t^2/3) dans l’ère de matière .
• [30]
  Nous venons de discuter le comportement de perturbations aux échelles plus grandes que la longueur de Hubble. Ceci semble impliquer qu’il faut renoncer à créer ces fluctuations par un processus physique de l’Univers primordial et les mettre « ab initio » puisque aucun processus causal ne semble pouvoir jouer sur ces échelles. Le modèle d’inflation apporte une solution élégante à ce problème, quoiqu’on puisse en imaginer d’autres solutions (cordes, textures, etc.). En effet, au cours de cette période, on a H = constante, avec une inflation exponentielle tant que dure cette phase de Sitter. Certaines échelles peuvent donc être successivement plus petites que λ_H, puis devenir plus grandes, avant de finalement redevenir plus petites. En d’autres termes, l’horizon causal global peut être beaucoup plus grand que le rayon de Hubble qui ne fixe que la limite instantanée des processus causaux.
• [31]
  Le taux de croissance D(t) pendant l’ère de matière est donné par le facteur d’expansion. En revanche, si Ω_m0 n’est pas égal à 1 − Ω_r0, la croissance après l’ère de la matière devient plus faible voire s’annule quand Ω_k0 ou Ω_Λ0 devient le terme dominant de l’équation de Friedman. La formule
  
  décrit à quelques pour cent près le facteur correctif.
• [32]
  Ce n’est en revanche plus le cas dans les scénarios où l’on considère des sources actives de fluctuations agissant continûment au cours de l’Histoire, comme dans le cas où il existerait des cordes cosmiques.
• [33]
  Elles sont en général isocourbes au lieu d’être adiabatiques, non-gaussiennes, et les phases des perturbations à une échelle donnée sont incohérentes, ce qui ne conduit pas à de multiples oscillations comme dans le cas cohérent de l’inflation.
• [34]
  Acronyme de Differential Microwave Radiometer. L’expérience FIRS a aussi annoncé une détection très peu de temps après.
• [35]
  Ce n’est pas tout à fait exact. Les données indiquent une valeur vraiment élevée de la profondeur optique, τ. Ce paramètre reflète la façon dont l’Univers est devenu réionisé par le flux des premiers objets non-linéaires.
• [36]
  Mais COBE a en revanche mieux contraint l’amplitude A_s du spectre primordial.
• [37]
  La pente n_T du spectre tensoriel a été supposée obéir à la relation n_T = −r/8 qui est une prédiction générique de la plupart des modèles d’inflation (ceux qui satisfont la condition de roulement lent).
• [38]
  Le paramètre de biais et l’épaisseur optique ont tous deux un statut un peu spécial, au sens où ils paramétrisent notre impuissance actuelle à les prédire précisément à partir de la valeur des autres paramètres. Ceci est en principe possible, mais exigerait d’avoir construit la théorie complète de la formation de toutes les structures de l’Univers et de leurs émissions, y compris celles qui ont réionisé le milieu intergalactique.
• [39]
  Les abondances d’autres éléments légers, comme⁴He ou le⁷Li, ont tendance à indiquer des valeurs plus faibles de l’abondance baryonique (jusqu’à un facteur deux), mais la déduction des abondances primitives à partir des observations est plus difficile que dans le cas du deutérium.
• [40]
  L’échelle d’énergie de l’énergie noire, est environ 30 ordres de grandeur plus petite que l’énergie de Planck E_Planck = G^−1/2…