Chapitre 5 : Circuits linéaires en régime permanent périodique

Un système linéaire libre et stable du second ordre, est un système dont la variable physique y(t) est solution d’une équation différentielle linéaire (EDL) de la forme suivante :
La grandeur ω0 > 0 correspond à la pulsation propre de l’oscillateur, c’est la pulsation à laquelle oscillerait le système en régime libre et sans frottement. Le coefficient α mesure « l’intensité » de l’amortissement. C’est ce coefficient qui permet de savoir si l’on est en régime libre apériodique ou pseudopériodique.
Le système est dit stable s’il a des solutions bornées ce qui suppose α > 0 car α < 0 signifierait un « anti-frottement » qui impliquerait une amplification de y ! C’est le critère de Routh-Hurwitz.
On suppose que l’on applique maintenant une excitation périodique de période T au système. Après quelques manipulations, on peut toujours écrire l’équation différentielle (EDL) sous la forme normalisée suivante :
Nous que la solution générale d’une telle équation différentielle est de la forme :\begin{equation} y(t)=y_{S E H}(t)+y_{S P}(t) \text { où }\left\{\begin{array}{c} y_{S E H}(t) \text { est la solution générale de l’équation homogène.} \\ y_{S P}(t) \text { est } \mathbf{une} \text { solution particulière de l’} \textit{EDL} \text { avec second membre.} \end{array}\right. \end{equation}
La stabilité physique du système, qui correspond mathématiquement à α > 0 assure qu’à la limite où t ≫ 1/[αω0] alors ySEH(t) → 0. D’un point de vue physique, cela veut dire que le processus dissipatif qui est ici un processus fluide et linéaire finit par annuler la grandeur oscillante qui tend alors vers 0. C’est l…