Fiche 30. Éléments de mathématiques n° 2

Dans les formules ci-dessous, f désigne une fonction ; \vec{a}, \vec{b} \text { et } \vec{c} désignent des vecteurs ordinaires (pas des opérateurs).
Soit un champ de vecteurs \vec{a}(x, y, z) définis dans une portion d’espace. De tels champs vectoriels, peuvent être purement mathématiques ou exprimant des observables, tel le champ de vitesse des particules d’air autour d’un avion ou les familiers \overrightarrow{\mathcal{E}} \text { et } \vec{B}.
Remarque
S est une surface s’appuyant sur le contour C. Ce dernier est impérativement fermé, faute de quoi la surface S ne pourrait pas être définie. L’orientation du contour s’obtient à partir de l’orientation de la surface à l’aide de la règle du pouce de la main droite.
EXEMPLE. DES SITES QUI TOURBILLONNENT
À l’instar de deux engrenages imbriqués, qui se bloquent lorsqu’on les force à tourner dans le même sens (Fig. A), les vecteurs tournants se compensent deux-à-deux, comme l’indiquent les flèches en biais (Fig. B). Les vecteurs du pourtour font exception. Il en résulte une circulation le long d’un contour fermé.

En analyse vectorielle, le théorème de Green-Ostrogradski, appelé aussi théorème de flux-divergence, affirme l’égalité entre l’intégrale de la divergence d’un champ vectoriel \vec{a} sur un volume dans ℝ3 et le flux de ce champ à travers la frontière du volume.
EXEMPLE. DES SITES QUI DÉTONNENT
Les vecteurs qui émanent de chacun des sites indiqués ci-contre se compensent deux-à-deux comme c’est indiqué par les flèches en biais…