Soit une distribution discrète de charges fixes, q 1, q 2, …, qN , placées dans un domaine τP fini (Fig. 10.1A) ; \vec{r}_i=\overrightarrow{O P}_i(i=1,2, \ldots, N) sont leurs vecteurs de position par rapport à une origine O; \vec{r}=\overrightarrow{O M} définit la position d’un observateur ; \overrightarrow{P_i M}=\vec{r}-\vec{r}_i.
À l’aide du principe de superposition, on obtient pour \overrightarrow{\mathcal{E}}(M) :
La seconde expression exprime le champ en M lorsque la distribution de la Fig. (10.1A) devient une distribution continue volumique dans le même volume que la distribution discrète (Fig. 10.1B). La méthode ci-dessous en apporte la preuve lorsqu’un très grand nombre de charges très rapprochées sont confinées dans τP .
Le gradient est une extension vectorielle du concept de dérivée :
\vec{\nabla}_{\vec{r}} f\left(\vec{r}, \vec{r}^{\prime}\right) signifie que les dérivées partielles de f doivent être prises par rapport aux composantes de \vec{r}. Les vecteurs signalés par ♣ dans les Éqs. (10.1) & (10.2) étant identiques, on obtient à la fois l’expression \overrightarrow{\mathcal{E}}=-\overrightarrow{\operatorname{grad}} V et la forme générale de V(\vec{r}) :
En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski, affirme l’égalité entre l’intégrale de la divergence d’un champ vectoriel sur un volume dans ℝ3 et le flux de ce champ à travers la frontière du volume. Ce flux est une intégrale de surface…