Partie III. Étudier et utiliser les suites numériques

L’utilisation d’opérations algébriques conduit à une forme indéterminée \frac{\infty}{\infty}. La convergence peut être obtenue par deux méthodes :
soit par la mise en facteur de n2 au dénominateur (c’est-à-dire le terme prépondérant de la somme) ; on obtient u_n \sim \frac{1}{n}, d’où \lim\limits_n~ u_n=0 (et cela donne de plus une indication sur la rapidité de convergence vers 0) ;
soit par une majoration de |un| en minorant le dénominateur par n2 ; pour obtenir une majoration de |un| par ε, on pourra prendre n \geqslant N, où N est un entier strictement supérieur à \frac{1}{\varepsilon}.
Une première solution est la mise en facteurs des termes prépondérants qui donne u_n=\frac{1}{\sqrt{n}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)}.
On obtient la limite de \frac{\sin n}{n} en majorant |sin n| par 1.
On obtient u_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}}, d’où \lim\limits_n~ u_n=0 et une indication sur la rapidité de convergence vers 0.
Une autre solution est d’utiliser une majoration grossière. Comme −1 < sin n < 1 et n − 1 > 0, on aOn conclut en utilisant la mise en facteur : \frac{\sqrt{n}}{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)}.
Une transformation utilisant l’expression conjuguée donne :
On obtient alors la majoration \left|u_n\right| \leqslant \frac{1}{2 \sqrt{n}}.
Pour obtenir |un| < ε, on pourra prendre n \geqslant N, où N>\frac{1}{4 \varepsilon^2}.
En mettant n3 en facteur au dénominateur, on a
D’une part, \left|\frac{2(-1)^n}{n^3}\right|=\frac{2}{n^3…