Notes

• [1]
  Tout point de U est centre d’une boule incluse dans U : cela assure qu’une fonction définie sur U est définie dans toutes les directions au voisinage d’un point où elle est définie.
• [2]
  On devrait écrire f((x₁,…,x_n)) au lieu de f(x₁,…,x_n), on commet ici un abus de notation.
• [3]
  Puisque la partie U est ouverte, il existe une boule centrée en a entièrement incluse dans U. Lorsque le vecteur h est voisin du vecteur nul, la condition a + h ∈ U est remplie.
• [4]
  Cette identité généralise aux fonctions de n variables réelles l’égalité f(a+h) = f(a) + f′(a)h+o(h) quand h tend vers 0 connue pour les fonctions d’une variable réelle dérivables.
• [5]
  On peut alors écrire d(λf) = λ df, d(f + g) = df + dg et d(fg) = g df + dg. On peut aussi proposer des formules analogues concernant le gradient.
• [6]
  En notant φ(f) au lieu de φ ○ f, on écrit d(φ(f)) = φ′(f) df. Par exemple, d(f^α) = αf^α−1 df.
• [7]
  Si l’on pose γ(t) = (x₁(t),…,x_n(t)), cette formule se relit (f ○ γ)′(t) = df (γ(t))·γ′(t).
• [8]
  Dans ces écritures, la lettre x désigne des objets différents. Le x des termes x(u, v) et correspond à la fonction x tandis que le x du terme est là pour signifier la première variable de la fonction f.
• [9]
  La notation est à comprendre comme une abréviation de ∂x_i∂x_i, elle n’a pas de lien avec la dérivation d’un carré.
• [10]
  Seules les droites non verticales pourront être exprimées par une équation du type y = px + q avec p, q ∈ ℝ.
• [11]
  On parle parfois de minimum absolu.
• [12]
  Locution latine signifiant « En modifiant ce qui doit être changé ».
• [13]
  Le réel r correspond à la norme euclidienne de (x, y).
• [14]
  Comme f(y, x) = −f(x, y) on peut aussi économiser quelques calculs…
• [15]
  Les fonctions (r, θ) ↦ r et (r, θ) ↦ θ sont de classe sur ℝ² et, par opérations sur les fonctions, (r, θ) ↦ r cos(θ) et (r, θ) ↦ r sin(θ) sont aussi de classe sur ℝ².
• [16]
  Lors de cette translation, les termes constants se simplifient car l’expression s’annule lorsque u et v sont nuls. Aussi, les termes en u et v disparaissent car (0, 0) est un point critique de l’expression en la variable (u, v).
• [17]
  La fonction de changement de variables exprime les variables initiales en fonction des nouvelles variables.
• [18]
  On aurait aussi pu remarquer que la fonction est solution particulière. En exploitant celle-ci, à l’instar de la résolution des équations différentielles linéaires, on peut résoudre l’équation aux dérivées partielles étudiée en introduisant une équation homogène. La fonction figure bien parmi les fonctions proposées ici, on l’obtient pour après quelques calculs.
• [19]
  On obtient la même identité si l’on dérive la relation initiale en la variable y.
• [20]
  Lors de ce calcul, il ne peut pas apparaître de terme car t ne désigne pas une variable de f.
• [21]
  Une fonction de classe sur ℝ² vérifiant est dite harmonique.
• [22]
  Lorsque c = 1, les deux équations du système s’écrivent a² + b² = 1 et ax₀ + by₀ = z₀. La résolution du système consiste alors en la détermination des points de coordonnées (a, b) qui appartiennent simultanément au cercle unité et à une droite donnée. Écrire a = cos(θ) et b = sin(θ) consiste à proposer un paramétrage du cercle unité.
• [23]
  En revanche, la fonction f atteint son minimum de valeur nulle en tout point du bord de T.
• [24]
  Le domaine Ω est ouvert car c’est l’intersection de trois parties ouvertes de ℝ², chacune définie par une condition continue et une inégalité stricte (Th. 4 p. 265).
• [25]
  S’il n’y a pas tangence d’un côté, on peut réduire le périmètre du triangle en remplaçant ce côté par un côté parallèle et tangent au disque.
• [26]
  On obtient la même conclusion si l’on recherche le triangle d’aire minimale contenant un disque donné car l’aire A du triangle, son périmètre p et le rayon R du disque inscrit sont liés par la relation 2A = R_p.
• [27]
  On peut aussi former « naturellement » cette équation en exprimant les dérivées partielles de f en fonction de celles de g.
• [28]
  Résoudre une équation aux dérivées partielles consiste à déterminer les fonctions de classe (ou de classe selon le contexte) vérifiant la relation proposée.
• [29]
  Cependant, si on limite (x, y) dans ℝ² \ (ℝ_ × {0}), on peut proposer lorsque l’on choisit θ ∈ ]−π ; π[ : voir sujet 30 du chapitre 2 de l’ouvrage Exercices d’analyse PCSI.
• [30]
  Parler de noyau pour étudier l’injectivité n’est pas contextuel, Φ n’est pas une application linéaire.
• [31]
  Dans le cas n = 2, l’expression de f_A(x, y) est de la forme ax² + βxy + γy² : cette visualisation peut aider à comprendre la suite des calculs.
• [32]
  Bien que le produit matriciel soit associatif, le parenthésage écrit est utile à la compréhension du calcul afin que les types matriciels soient respectés lors du produit. Notamment, les produits xAx dans le premier membre ou Axx dans le second n’ont pas de sens.
• [33]
  Une fonction solution est nécessairement de classe et l’on observe par application du théorème de Schwarz que l’hypothèse sur les dérivées partielles de f est une condition nécessaire à l’existence de g.
• [34]
  Éventuellement, lire [x ; 0] lorsque x est négatif.