On se donne maintenant les moyens de mesurer les distances (voire les angles).
Dans ce chapitre, le corps de base sur lequel sont définis les espaces vectoriels et affines considérés est, impérativement, le corps R des nombres réels. Les espaces considérés sont tous de dimension finie.
Rappelons qu’un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une « forme-bilinéaire-symétrique-définie-positive », c’est-à-dire une application
linéaire en chacune des deux variables,
symétrique (c’est-à-dire telle que l’on ait Φ(v, u) = Φ(u, v) pour tous les vecteurs u et v de E)
et telle que l’on ait Φ(u, u) ≥ 0 pour tout u, l’égalité Φ(u, u) = 0 ayant lieu si et seulement si u = 0.
On utilise ici les notations les plus standard possibles, c’est-à-dire qu’on écrit u-v pour Φ(u, v) et ||u||2 pour u · u (étant entendu que ||u|| est un nombre positif). On écrit aussi u ⊥ v quand u · v = 0, ce qui définit aussi une relation entre sous-espaces, l’orthogonalité. On note ℱ⊥ l’orthogonal du sous-espace ℱ, en symbolesOn a la décomposition E = F ⊕ F⊥. Plus généralement, si S est une partie de E, on note S l’ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de S. C’est un sous-espace vectoriel, l’orthogonal du sous-espace engendré par S.
On s’autorisera bien sûr à abréger d(A, B) en AB.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que ||·|| est une norme (un espace euclidien est un espace vectoriel normé) et que d est une distance (un espace affine euclidien est un espace métrique)…