III. Géométrie euclidienne plane
- Par Michèle Audin
Pages 73 à 126
Citer ce chapitre
- AUDIN, Michèle,
- Audin, Michèle.
- Audin, M.
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Notes
- (1)De sorte que les homothéties préservent les angles orientés de vecteurs, par définition.
- (2)La réunion de deux droites parallèles possède, elle, beaucoup plus d’axes de symétrie.
- (3)Avec une échelle différente dans laquelle π vaut 180.
- (4)En utilisant l’exercice II.5, on voit facilement qu’il n’est pas nécessaire de demander que les applications considérées soient affines.
- (5)’C’est une bonne occasion de conseiller la lecture du chapitre 5 de [15].
- (5)On peut considérer que les inversions de puissance négative ont un cercle d’inversion de rayon imaginaire. Ce point de vue sera utilisé au §VII.6.
- (7)Rappelons qu’un difféomorphisme est une application bijective et différentiable dont l’application réciproque est différentiable.
- (8)’Le mot « rappel » est utilisé ici pour désigner des notions ou résultat dont l’auteur aurait aimé que les lecteurs les connussent avant d’ouvrir le livre… mais l’auteur est réaliste.
- (9)Un seul point à l’infini, on y reviendra longuement aux §§ VI.7 et VII.6.
- (10)Ici et maintenant, mais aussi au §VII.6, avec les équations des cercles dans le plan.
- (11)Voir au besoin l’exercice III.66.
- (12)Les lectrices sont invitées à vérifier que leur démonstration ne permet pas de montrer que les trois bissectrices extérieures sont concourantes (c’est faux, et donc la démonstration le serait aussi).
- (13)Un angle géométrique est aigu s’il a une mesure strictement inférieure à π/2.
- (14)Cette démonstration courte est due à Vilmos Komornik [28].
- (15)Cet exercice n’est pas très palpitant, d’accord, mais le résultat est utile, il sera utilisé notamment dans l’exercice III.69.
- (16)On peut remplacer le cercle par une conique quelconque dans cet exercice, c’est alors une variante du théorème de Pascal (ici le théorème VII.4.4, voir aussi l’exercice VII.54 et une autre variante du théorème de Pascal sur un cercle dans l’exercice III.48).
- (17)Si cette figure vous fait penser à un cube, n’hésitez pas à aller chercher pourquoi dans l’exercice VI.40.
- (18)Un nouvel avatar du principe de transport par conjugaison I.3.19.
- (19)Le résultat est vrai pour deux cercles quelconques, mais un peu plus pénible à établir directement, voir [16] et l’exercice VII.64.
- (20)Voir par exemple [11] ou [50].
Dans ce chapitre, il y a des isométries planes, des triangles et des angles inscrits, des similitudes, des inversions et même des faisceaux de cercles. Mais il y a aussi, et il faut bien commencer par ça, des précisions sur ce qu’est un angle et comment on le mesure. Les démonstrations sont, certes, très simples, mais les énoncés et leur précision sont délicats et importants.
L’idée intuitive que nous avons d’un angle comme partie du plan contenue entre deux demi-droites de même origine est assez inadaptée à une utilisation rigoureuse. Il semble que la meilleure définition de cet « écartement » entre les deux demi-droites soit via le déplacement qui fait passer de l’une à l’autre.
Elle permet en tout cas de munir l’ensemble des angles d’une structure de groupe et de mesurer les angles, c’est-à-dire d’associer à chaque angle un nombre réel (hélas, pas unique !) et ceci de façon additive.
On se place dans un plan euclidien P. On utilise les notations du chapitre précédent. Les isométries vectorielles positives du plan sont, on l’a vu au §II.3, les rotations. On réservera le mot « déplacement » aux isométries affines.
La remarque de base est la proposition suivante.Proposition III.1.1. Étant donnés deux vecteurs unitaires d’un plan vectoriel, il existe une unique rotation qui envoie l’un sur l’autre.
On peut maintenant se demander, étant donnés deux couples de vecteurs unitaires (u, v), (u′, v’), s’il existe une rotation qui envoie u sur u′ et v sur v′. La réponse est bien sûr négative en général et c’est là que se cachent les angles…
Date de mise en ligne : 01/06/2022