Chapitre 2. Exercices avec préparation

Analyse du sujet et commentaires tactiques :
Ce sujet est centré sur l’algèbre linéaire : calcul matriciel et diagonalisation. Il comporte aussi des questions sur les polynômes et l’analyse de première année. Pour les questions d’analyse l’approche graphique, réalisée grâce au logiciel Python, aide beaucoup, il faut donc connaître les commandes pour tracer une courbe rapidement. Les questions d’algèbre ne sont pas très difficiles si on comprend le lien avec le début du sujet. La dernière question d’informatique est sur les suites récurrentes, c’est très classique, l’étudiant devra prendre du recul pour interpréter les résultats obtenus.1. a. Lorsqu’on veut justifier l’existence d’une solution à une équation, sans être en capacité de la résoudre, on pense au théorème des valeurs intermédiaires.Rappel de cours :
Le théorème des valeurs intermédiaires énonce que si a \lt b et f est une fonction continue sur [a, b], alors pour tout y entre f(a) et f(b) il existe c dans [a, b] tel que f(c)=y.Soit P un polynôme de degré 3. Il existe donc \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) dans \mathbb{R}^{4}, avec a_{3} \neq 0, tel que :
Supposons pour l’instant a_{3} \gt 0. Alors
et
De plus P est une fonction continue sur \mathbb{R}. On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour en déduire que P a au moins une racine réelle. Maintenant, si a_{3} \lt 0 les deux limites sont inversées mais la conclusion reste identique.b.
On définit la fonctio…