Après quelques rudes assauts contre la notion mathématique d’« infiniment petits » appliquée sans discernement à des sujets physiques, après quelques arguments et exemples montrant combien illusoire s’avère l’affirmation pourtant sans cesse réitérée qu’ils « tendent vers zéro », attelons-nous maintenant à un véritable calcul différentiel, suivi d’une intégration en bonne et due forme – le tout mené « à la physicienne ».
« La Ligne générale » consiste ici à évaluer l’énergie que peut délivrer une retenue d’eau – telle qu’en occasionne un barrage hydroélectrique en montagne. Nous modélisons et simplifions radicalement le problème, en en conservant toutefois le trait essentiel : c’est désormais un récipient cylindrique de section S qui retient l’eau (figure) ; son plancher, horizontal, se situe à la hauteur h0 au-dessus de la turbine qui va recevoir la chute d’eau et transformer en énergie électrique l’énergie potentielle de pesanteur associée au dénivelé ; l’eau y atteint le niveau h – compté quant à lui à partir du plancher.
On suppose connu cet énoncé physique élémentaire : un objet quelconque de masse m, descendant dans le champ de la pesanteur terrestre depuis l’altitude z jusqu’à z0 – inférieure à z – libère une énergie d’expression mg(z – z0), le symbole g représentant l’accélération de la pesanteur, qui pourra être considérée constante, pour ce qui nous concerne ici. Afin de simplifier encore et de fixer les idées, on se propose de vider entièrement le réservoir, sans qu’aucune rivière ni canalisation ne vienne l’alimenter par ailleurs…