Fiche 6. Le théorème de Millman

Le théorème de Millman permet d’exprimer le potentiel en un nœud quelconque d’un réseau en fonction des potentiels aux nœuds voisins. Il est une conséquence de la loi des nœuds et peut donc être utilisé à sa place. L’avantage réside dans le fait qu’on exprime des relations sans courant, uniquement à l’aide de tensions. En utilisant à la fois le théorème de Millman et la loi des mailles, on dispose de deux outils qui permettent de résoudre pratiquement n’importe quel problème d’électrocinétique.
Considérons un nœud quelconque d’un circuit (figure 6.1). Ce nœud est relié à n points du circuit par l’intermédiaire de n branches possédant chacune une résistance Ri. Soient Vi les tensions aux n points voisins du nœud X.
Le potentiel VX s’exprime en fonction des potentiels aux nœuds voisins de la manière suivante :
On peut définir également la conductance d’un dipôle résistif par l’inverse de sa résistance. Soit :
Ainsi, le théorème de Millman peut aussi s’écrire :Ce qui revient à dire que le potentiel en un nœud quelconque d’un circuit est la moyenne des potentiels aux nœuds voisins, pondérée par les conductances des différentes branches.
Le théorème de Millman est un outil extrêmement intéressant, surtout si on le compare aux lois de Kirchhoff :
Comme il découle de la loi des nœuds mais ne met en équation que des tensions, il permet de limiter le nombre de variables introduites dans les équations.
Il permet de cibler le calcul d’un potentiel particulier ou d’une différence de potentiels donnée en n’écrivant qu’une seule ligne de calcul…