Chapitre 13. La théorie de la relativité restreinte
- Par Sébastien Trilles
- et Pierre Spagnou
Pages 203 à 211
Citer ce chapitre
- TRILLES, Sébastien
- et SPAGNOU, Pierre,
- SPAGNOU, Pierre
- et TRILLES, Sébastien,
- Trilles, Sébastien.
- et al.
- Trilles, S.
- et Spagnou, P.
- P. Spagnou
- et S. Trilles
https://doi.org/10.3917/edp.spagn.2020.01.0203
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- Trilles, S.
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- et SPAGNOU, Pierre,
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https://doi.org/10.3917/edp.spagn.2020.01.0203
Notes
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[1]
On trouvera dans Galilée (1632), page 317, le célèbre passage où Galilée décrit des expériences diverses (mouches, papillons, seau d’eau percé…) à l’intérieur de la cabine d’un bateau en mouvement uniforme.
-
[2]
La notation différentielle utilisée ici a une définition mathématique rigoureuse. Si E est un espace vectoriel réel de dimension n avec pour base B = {e1 ⋯ en}, on appelle base duale
l’ensemble des formes linéaires
définies par
pour tout vecteur
de E. Les vecteurs de la base duale B∗ associent à tout vecteur de E sa ième composante dans la base B, on note souvent les formes
par dxi. Comme on est en dimension finie, l’espace E et son dual
sont isomorphes, à tout vecteur X = x1e1 + ⋯ + xnen, on associe la forme
. Pour toute forme quadratique réelle g : E → ℝ, on définit la forme quadratique duale
par la relation g∗ (X∗) = g (X). Dans notre cas g* est notée ds2 et g est définie par la matrice de Lobatchevski :
et les vecteurs sont ici les quadrivecteurs d’espace-temps X = (x, y, z, ct). Si on note X∗ = (dx, dy, dz, cdt), on a ds2 = g∗ (X∗) = X∗t LX∗
La norme d’un vecteur dans E pour la métrique g* est définie par. La norme d’une forme linéaire dans E∗ pour la métrique g∗ est définie par
et notée ds. D’après notre construction ds (X∗) = ||X||.
-
[3]
Pour une démonstration détaillée, voir l’article de Jean-Marc Lévy-Leblond, One more derivation of the Lorentz transformation (Lévy-Leblond, 1976).
-
[4]
Pour plus de détails, on pourra consulter l’article historique d’Einstein (1905) ainsi que l’analyse de la partie cinématique par Spagnou (2014).
À partir de ce chapitre, nous exposons les concepts clés de la relativité (principalement concernant le temps) qui sont incontournables dans tout système de géolocalisation par satellites.
Nous allons voir qu’il est possible et souhaitable de présenter cette nouvelle théorie de l’espace et du temps qu’est la relativité restreinte sans faire mention de la lumière, en introduisant la notion de « vitesse limite » ou de constante d’espace-temps.
Nous préciserons toutefois en fin de chapitre pourquoi l’étude des propriétés de la lumière a joué un rôle déterminant dans la genèse de cette théorie.
Galilée (1564–1642) fut le premier à énoncer clairement, à l’aide d’exemples nombreux et détaillés, dans un cadre mathématique, ce que nous nommons aujourd’hui le principe de relativité, autrement dit l’équivalence entre les référentiels inertiels.
Cette équivalence implique que toutes les expériences physiques réalisées à l’intérieur d’une cabine animée d’un mouvement inertiel donneront les mêmes résultats quelle que soit la vitesse de la cabine par rapport au référentiel considéré. C’est ce que nous pouvons constater de nos jours aisément lorsque nous laissons tomber notre stylo depuis notre siège dans un avion de ligne en vitesse de croisière ou dans un TGV roulant en ligne droite à 300 km/h : tout se passe comme si nous étions au repos au sol.
Dès lors, la question qui se pose est la suivante : comment passe-t-on des coordonnées d’un événement (repéré par trois coordonnée…