Leçon 11

Attachons-nous maintenant à trouver les solutions des équations d’Einstein pour certaines situations physiques intéressantes. Il se trouve que l’essentiel des observations concernant la gravitation sont correctement décrites par la théorie de Newton, et nous ne nous intéresserons donc qu’à deux des solutions aux équations d’Einstein. La première est celle du champ de gravitation autour d’une étoile (celle-ci devrait donner les bonnes valeurs pour la déviation de la lumière et la précession du périhélie de Mercure). La seconde concerne les distributions de masse quasi-uniformes, et c’est elle qui servira à l’étude des modèles cosmologiques.
Avec l’hypothèse de la symétrie sphérique, le tenseur métrique devrait conduire à l’expression suivante du carré de l’intervalle de temps propre :
où les symboles A, B, C D représentent des fonctions qui peuvent dépendre des coordonnées (r, t) mais pas de (θ, ϕ). Cette expression admet des solutions dynamiques pour lesquelles le mouvement de la matière est purement radial. On peut réduire le nombre de fonctions inconnues par un choix judicieux des coordonnées. Par exemple, si l’on modifie l’échelle de la coordonnée r selon la règle
alors l’expression de (ds)2 en termes de r′ et dr′ possède la même forme que celle qui fait intervenir r et dr, à ceci près que la nouvelle fonction D vaut exactement 1. Autrement dit, cette fonction D est inutile puisque D = 1 correspond à un problème tout aussi général.
Une autre simplification découle cette fois d’un changement d’échelle temporelle…