« Plus qu’aucune autre question, celle de l’infini a depuis toujours tourmenté la sensibilité des hommes ; plus qu’aucune autre idée, celle de l’infini a sollicité et fécondé leur intelligence ; plus qu’aucun autre concept, celui de l’infini requiert d’être élucidé » Ainsi s’exprimait, à la fin du premier quart de notre siècle, un des plus grands mathématiciens de tous les temps, David Hilbert.
Témoigner aujourd’hui de la fascination philosophique pour l’infini est une preuve indirecte de la force pérenne et toujours actuelle de cette fascination. Essayer de faire le point sur l’acquisition, y compris dans la période précantorienne, du concept mathématique d’infini conserve le plus grand intérêt au moment où de nombreuses recherches et discussions mathématico-logiques cherchent à mesurer la capacité d’expression de ce qu’on appelle une mathématique finitaire. Celle-ci considère que les seules entités effectivement données et les seuls processus effectivement exécutables sont finis. Elle ne s’interdit pas pour autant d’envisager des notions impliquant l’infini, mais ne leur accorde pas d’existence actuelle et cherche à délimiter les moyens (constructions, règles, etc.) qui nous donnent, à partir de processus portant sur des entités finies, accès à ces notions.
Ce point de vue, qui revient à considérer que le seul infini du mathématicien est l’infini potentiel, les textes de ce recueil en illustrent l’antiquité. À la fin du siècle dernier et au début du nôtre, il fut défendu par Leopold Kronecker et Henri Poincaré, dont la conviction était que seuls les nombres entiers sont l’objet d’une intuition mathématique indispensable et indiscutable, donnés sous forme d’une suite de longueur non bornée et non comme totalité achevée…