1. Fonctions d’une variable réelle

L’étude des fonctions est soumise à de nombreux concepts qui, s’ils ne sont pas clairement identifiés et utilisés, peuvent bloquer une étude pourtant facilement réalisable.
Les fonctions servent à modéliser des phénomènes continus. Pour cela il faut établir une relation entre une situation existante et un modèle mathématique capable de l’approcher au mieux dans certaines conditions.En préalable à toute étude mettant en jeu des fonctions, il convient de ne pas se couper du cadre réel de l’étude, et de bien positionner la validité du modèle. Il faut faire la distinction entre ce qui sera « exact » comme le résultat d’un calcul utilisant le modèle, et ce qui sera « vrai », c’est-à-dire le phénomène réel qui se produit.
Mathématiquement une fonction peut être définie sur ℝ. Cependant les modèles utilisés sont rarement valables pour une variable parcourant l’ensemble des nombres réels.Des variations trop rapides peuvent empêcher un traitement en aval du phénomène. De même des variations lentes permettent d’envisager un traitement éventuel moins coûteux. Ici encore le signe de la dérivée de la fonction modèle va permettre rapidement de repérer les variations sur les différents intervalles (voir § 1.1.5).
Considérons de nouveau la charge d’un condensateur à travers une résistance. Le montage sera le même que celui de la figure 1.3.
L’évolution de la différence de potentiel aux bornes du condensateur a pour courbe représentative la figure 1.8. Le modèle considéré est celui d’une fonctio…