Chapitre 16. Limites des suites numériques

Il existe une suite (un)n∈ℕ qui énumère tous les rationnels.
□ a. Vrai
□ b. FauxIl existe une suite (un)n∈ℕ qui énumère tous les réels.
□ a. Vrai
□ b. FauxQuelle est la limite de la suite de terme général (−1)n ?
□ a. 1
□ b. 0
□ c. −1
□ d. Aucune de ces réponsesQuelle est la limite de la suite de terme général \frac{(-1)^n}{n}?
□ a. 1
□ b. 0
□ c. −1
□ d. Aucune de ces réponses
► Réponses p. 500Dans ce chapitre nous introduisons enfin la notion rigoureuse de limite d’une suite. Une suite numérique est simplement une fonction ℕ → ℂ, c’est-à-dire un moyen de numéroter certains nombres complexes. L’idée intuitive de convergence a été pressentie très tôt dans l’histoire des mathématiques (voir en particulier le chapitre 2 pour l’approximation de π par une suite de longueurs de polygones, due à Archimède). Cette approche informelle a conduit à de nombreux paradoxes, le plus connu étant probablement celui d’Achille et la tortue, formulé par Zénon aux environs de –450. Il fallut attendre le xviie siècle pour qu’apparaisse une formulation plus rigoureuse de la notion de limite, la définition moderne de Bernard Bolzano et Karl Weierstrass étant finalement proposée au cours du xixe siècle. La formalisation précise de la notion de limite a permis de lever les paradoxes issus de l’Antiquité grecque. Certains problèmes provenaient en partie d’une utilisation impropre des règles de calcul sur les éléments de \overline{\mathbb{R}…