Chapitre 10. Suites réelles

Dans ce chapitre, nous rappelons les principales notions à maîtriser sur les suites réelles et nous passons en revue les propriétés essentielles des deux types de suite à connaître parfaitement : les suites arithmétiques et géométriques.Exemple 10.1
Considérons la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par u_{n}=2^{n}.
Ses premiers termes sont u_{0}=2^{0}=1, u_{1}=2^{1}=2, u_{2}=2^{2}=4, etc.
Sans perte de généralité, nous considérerons dans ce qui suit des suites qui sont définies sur \mathbb{N}.DéfinitionExemple 10.2
La suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_{0}=1, et pour tout n \in \mathbb{N} u_{n+1}=u_{n}+2 est une suite arithmétique de raison 2.La proposition ci-dessus permet de trouver une expression explicite du terme général un d’une suite arithmétique en fonction de n.Exemple 10.3
Reprenons la suite (un) définie dans l’exemple 10.2.
On peut en déduire par exemple que, pour tout n \in \mathbb{N} u_{n}=u_{0}+2 n=1+2 n mais aussi que u_{n}=u_{1}+2(n-1).
On retrouve bien la première expression, car u_{1}=u_{0}+2=1+2=3 (par définition de la suite) et donc u_{1}+2(n-1)=3+2(n-1)=3+2 n-2=1+2 n.Exemple 10.4
La suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_{0}=2, et pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=3 u_{n} est une suite géométrique de raison 3.La proposition ci-dessus permet de trouver une expression explicite du terme général un d’une suite géométrique en fonction d…