Chapitre 7. Introduction aux équations différentielles. Existence et unicité des solutions.

Certains modèles sont stationnaires, comme par exemple les modèles d’équilibre radiatif. Cependant, dès que le temps intervient, il faut passer aux équations différentielles. Le calcul différentiel, les dérivées et intégrales ont été introduites par Newton et Leibniz pour résoudre des problèmes de physique. Pourtant c’est avec des méthodes géométriques que Newton a étudié le lien entre force et accélération en mécanique céleste, ce problème sera formulé sous forme d’équation différentielle un peu plus tard.
Les équations différentielles qui vont être présentées dans ce chapitre sont les équations différentielles ordinaires (ODE : Ordinary Differential Equations en anglais), ce qui signifie que la fonction inconnue y, à une ou plusieurs composantes, ne dépend que d’une variable, généralement le temps t. Lorsqu’il y a dépendance de l’inconnue y en plusieurs variables, par exemple x et t, et plusieurs dérivées partielles, par exemple du type ∂y/∂t et ∂y/∂x, dans l’équation, ce sont des équations aux dérivées partielles (EDP : Partial Differential Equations : PDE en anglais). Les équations différentielles ordinaires sont parfois appelées équations différentielles ordinaires scalaires (resp. vectorielles) pour indiquer que le second membre f (t) est à valeurs dans ℝ (resp. ℝn). Une équation différentielle scalaire (resp. vectorielle) est dite aussi une équation différentielle en dimension un (resp. n).
Les équations différentielles ordinaires permettent de décrire le lien entre une fonction et ses dérivées, en particulier la dérivée première qui représente le taux d…