Chapitre 4. Calcul linéaire et physique classique ; relativité

Le calcul linéaire trouve ses origines dans l’étude des systemes d’équations linéaires et leur résolution par les techniques de déterminants et de transformations linéaires (à partir de 1750). Ces techniques appliquées également à la diagonalisation des formes quadratiques ont conduit vers 1850 au calcul matriciel (Cayley), ainsi qu’à la notion plus abstraite d’espace vectoriel (E.V.). Son extension aux E.V. de fonctions (Hilbert 1912), le formalisme matriciel étant généralisé aux opérateurs, a joué un rôle essentiel pour la mise en forme mathématique, entre 1922 et 1930 (Schrödinger, Heisenberg, Born, Jordan, Dirac etc.), de la physique quantique (chapitre 11). Par ailleurs, les travaux initiés à partir de 1870 par Klein et Lie sur les groupes et leurs représentations linéaires (par des groupes de matrices agissant sur des E.V.), ont reçu de nombreuses applications à partir de 1930, l’exemple le plus simple étant l’action des rotations et des boosts sur les spineurs.
Bien que d’un usage relativement tardif en physique classique, le calcul matriciel est très utile. Il permet de décrire élégamment les relations linéaires entre grandeurs additives, que ce soient des vecteurs de l’espace ordinaire (étude des déformations…) ou des vecteurs d’E.V. plus abstraits (quadrivecteurs en relativité d’Einstein, E.V. des rayons lumineux en optique matricielle de Gauss…). Le lecteur trouvera d’autres applications inportantes aux chapitres 5 (analyse des signaux) et 6 (étude des systèmes dynamiques linéaires dans l’espace de phase)…