Chapitre 7 Algèbre linéaire 1

On désigne par E un ensemble dont les éléments, appelés vecteurs, seront notés \vec{u}, \vec{v}, \ldots, \vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots et par ℝ l’ensemble des réels dont les éléments, appelés scalaires, seront notés α, β …, α 1, β 1,… Enfin, dans E une égalité est définie et l’écriture « \vec{u}=\vec{v} » a un sens bien précis.
On parle alors de (E, =, +, ⋅) espace vectoriel réel (réel car les scalaires sont des nombres réels), ou encore du ℝ-espace vectoriel E, ou plus simplement du ℝ e.v. E lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la loi interne et la loi externe définies dans (E, =, +, ⋅) noté aussi (E, +, ⋅) si pas d’ambiguïté sur l’égalité définie dans E.
Enfin il est bien commode de supprimer tout simplement le signe « ⋅ » de la multiplication et d’écrire α \vec{u} au lieu de α ⋅ \vec{u}. C’est ce que nous ferons pour la suite.
Muni de l’addition et multiplication habituelles – dont l’apprentissage débute à l’école primaire – l’ensemble (ℝ, +, ⋅) est un ℝ-espace vectoriel. Dans ce cas, et dans ce cas seulement, les vecteurs \vec{u}, \vec{v}, …, et les scalaires α, β,… sont de même nature et, suivant la logique de notre écriture, on devrait noter \overrightarrow{3},\left(\frac{\overrightarrow{1}}{2}\right), \overrightarrow{\sqrt{2}}, \overrightarrow{0},… en tant que vecteurs et 3, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, 0. en tant que scalaires. Zèle inutile réservé aux maniaques de l’écriture !
Enfin, les huit axiomes Al, A2,…, A8 qui donnent la structure d’espace vectoriel à ℝ (définition 3) correspondent à nos règles habituelles de calcul dans ℝ…