Chapitre 19. Démonstrations exigibles

Effectuons un raisonnement par l’absurde en supposant que est décimal.
Alors il existe deux entiers positifs a et b tels que
Ainsi 10b, puissance de 10 serait divisible par 3. CONTRADICTION ! (car un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l’est. Cela n’est pas le cas, car la somme des chiffres de 10b, puissance de 10, vaut toujours 1). Conclusion : n’est pas décimal.
1) Soit p un entier. Démontrons d’abord que : p2 est pair ⇒ p est pair.
Effectuons un raisonnement par l’absurde en supposant que p est impair. Alors il existe un entier j tel que p = 2j +1.
Donc p2 = 4j2 + 4j +1 = 2 × ( 2j2 + 2j) +1 et donc p2 est impair. CONTRADICTION ! Conclusion : p2 est pair ⇒ p est pair.
2) Effectuons un raisonnement par l’absurde en supposant que est rationnel. Alors il existe une fraction irréductible (où a et b sont deux entiers premiers entre eux) tels que Cela signifie que a2 est pair donc que a est pair (d’après 1)).
Comme a est pair, il existe un entier k tel que a = 2k.
Comme a = 2k, a2 = 4k2. 2b2 = a2 ⇔ 2b2 = 4k2 ⇔ b2 = 2k2.
Cela signifie que b2 est pair donc que b est pair (d’après 1)).
Ainsi a et b sont pairs : cela signifie que la fraction n’est plus irréductible.
CONTRADICTION ! Conclusion : est irrationnel.REMARQUE : Ce résultat, connu sous le nom de "incommensurabilité de la diagonale du carré par rapport au côté" (pardon ?), fut longtemps gardé secret par la société secrète de Pythagore (la secte des pythagoriciens), car il ébranlait leurs croyances philosophiques sur les nombres…