1. Algèbre générale

Nous rappelons dans ce tout premier paragraphe, des résultats vus en MPSI.Un ensemble G \neq \emptyset muni d’une loi de composition interne ★ est un groupe si cette loi est associative, s’il existe un élément neutre et si tout élément de G a un symétrique pour la loi ★ dans G. Si de plus ★ est commutative, le groupe est dit commutatif ou abélien.(\mathbb{K},+) est un groupe abélien si \mathbb{K} = \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R} ou \mathbb{C}.(\mathbb{K}^*,\times) est un groupe abélien si \mathbb{K} = \mathbb{Q},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C},\ \mathbb{Q}_+,\mathbb{R}_+,\mathbb{U},\mathbb{U}_n.(\mathfrak{S}(E),\circ) est le groupe des permutations (bijections) de l’ensemble E.(\mathfrak{S}_n,\circ) : groupe des permutations de ⟦1, n⟧ est le groupe symétrique d’ordre n.
Dans un groupe, l’élément neutre est unique.
Dans un groupe, le symétrique de tout élément est unique.
Si a, b sont deux éléments d’un groupe (G, .), alors (a.b)−1 = b−1. a−1.Si G1 et G2 sont deux groupes, alors G1 × G2 est muni d’une loi de composition interne notée :Muni de cette loi G1 × G2 a une structure de groupe.
Si \mathbb{K} \in\{\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\} alors, pour n ⩾ 2, \left(\mathbb{K}^n,+\right) est un groupe abélien.Une partie non vide H de G est un sous-groupe de (G, ★) si elle est stable par ★ et si, munie de la loi induite, elle a une structure de groupe.Soit (G, ★) un groupe. H est un sous-groupe de (G, ★) si l’une des assertions équivalentes suivantes est vrai…