EDHEC 2016 : le sujet

On désigne par Id l’endomorphisme identité de \mathbb{R}^{3} et par I la matrice identité de \mathscr{M}_{3}(\mathbb{R}).
On note \mathscr{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) la base canonique de \mathbb{R}^{3} et on considère l’endomorphisme f de \mathbb{R}^{3} dont la matrice dans la base \mathscr{B} est : A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3\end{array}\right).1. Calculer A^{2}-4 A puis déterminer un polynôme annulateur de A de degré 2.2. a) En déduire la seule valeur propre de A (donc aussi de f ).b) La matrice A est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?3. Déterminer une base ( u_{1}, u_{2} ) du sous-espace propre de f associé à la valeur propre de f.4. a) On pose u_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3}. Montrer que la famille ( u_{1}, u_{2}, u_{3} ) est une base de \mathbb{R}^{3}.b) Vérifier que la matrice T de f dans la base ( u_{1}, u_{2}, u_{3} ) est triangulaire et que ses éléments diagonaux sont tous égaux à 2.c) En écrivant T=2 I+N, déterminer, pour tout entier naturel n, la matrice T^{n} comme combinaison linéaire de I et N, puis de I et T.5. a) Expliquer pourquoi l’on a :b) Utiliser le polynôme annulateur obtenu à la première question pour déterminer A^{-1} en fonction de I et de A.c) Vérifier que la formule trouvée à la question 5 a reste valable pour n=-1.
Pour chaque entier naturel n, on définit la fonction f_{n} par : \forall x \in\left[n,+\infty\left[, f_{n}(x)=\int_{n}^{x} \mathrm{e}^{\sqrt{t}} d t\right.\right…