Sujet n° 12. ENS - ENPC filière BCPST 2020

Une marche aléatoire est une suite de variables aléatoires obtenues en sommant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées.
Dans la première partie, nous étudions une marche aléatoire simple et exhibons un lien entre l’évolution temporelle de sa loi, et une certaine équation aux dérivées partielles.
Cela motive l’étude, dans la deuxième partie, d’une équation aux dérivées partielles un peu plus générale, avec cette fois des conditions au bord, censées modéliser l’absorption de la marche aléatoire.
Enfin, dans les troisième et quatrième parties, nous revenons au discret en nous intéressant cette fois à une matrice, et à ses valeurs propres et vecteurs propres.
Les trois premières parties sont indépendantes. Les parties II et III ne font aucune référence à des marches aléatoires ou à des probabilités.
On utilise les notations habituelles \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R} mais aussi \mathbb{N}^*, \mathbb{Z}^*, \mathbb{R}_{+}, \mathbb{R}_{+}^*. Par exemple, \mathbb{Z}^* désigne l’ensemble des entiers relatifs non nuls, et \mathbb{R}_{+} l’ensemble des réels positifs ou nuls. Pour m \leqslant n entiers naturels, on note ⟦ m, n ⟧=\{m, \ldots, n\} l’ensemble des entiers naturels compris dans l’intervalle [m, n]. Pour x réel, on note \lfloor x\rfloor sa partie entière, définie comme étant l’unique entier vérifiant \lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1.
Pour n \geqslant 1, on note M_n(\mathbb{R}) l’ensemble des matrice…