19. Espaces vectoriels
- Par Claude Deschamps,
- François Moulin,
- Yoann Gentric,
- Maxime Bourrigan,
- Emmanuel Delsinne,
- François Lussier,
- Chloé Mullaert,
- Serge Nicolas,
- Jean Nougayrède,
- Claire Tête
- et Michel Volcker
Pages 697 à 729
Citer ce chapitre
- DESCHAMPS, Claude,
- MOULIN, François,
- GENTRIC, Yoann,
- BOURRIGAN, Maxime,
- DELSINNE, Emmanuel,
- LUSSIER, François,
- MULLAERT, Chloé,
- NICOLAS, Serge,
- NOUGAYRÈDE, Jean,
- TÊTE, Claire
- et VOLCKER, Michel,
- Deschamps, Claude.,
- et al.
- Deschamps, C.,
- Moulin, F.,
- Gentric, Y.,
- Bourrigan, M.,
- Delsinne, E.,
- Lussier, F.,
- Mullaert, C.,
- Nicolas, S.,
- Nougayrède, J.,
- Tête, C.
- et Volcker, M.
Citer ce chapitre
- Deschamps, C.,
- Moulin, F.,
- Gentric, Y.,
- Bourrigan, M.,
- Delsinne, E.,
- Lussier, F.,
- Mullaert, C.,
- Nicolas, S.,
- Nougayrède, J.,
- Tête, C.
- et Volcker, M.
- Deschamps, Claude.,
- et al.
- DESCHAMPS, Claude,
- MOULIN, François,
- GENTRIC, Yoann,
- BOURRIGAN, Maxime,
- DELSINNE, Emmanuel,
- LUSSIER, François,
- MULLAERT, Chloé,
- NICOLAS, Serge,
- NOUGAYRÈDE, Jean,
- TÊTE, Claire
- et VOLCKER, Michel,
Dans tout ce chapitre, IK désigne IR ou ℂ.Terminologie On appelle alors vecteurs les éléments de E et scalaires les éléments de IK. La loi de composition interne est appelée addition et la loi de composition externe multiplication par un scalaire.Remarques
L’addition étant associative, on pourra écrire x + y + z sans parenthèses.
Par définition, un espace vectoriel E n’est pas vide : il contient toujours l’élément neutre 0E pour l’addition, que l’on appelle le vecteur nul.
Il y a unicité du vecteur nul. En effet, si 0E ∈ E et \tilde{o}_E \in E vérifient :
alors on a 0_E=0_E+\overline{0}_E=\overline{0}_E.
Étant donné x ∈ E, si x′ ∈ E et x” ∈ E vérifient :
alors, par associativité de l’addition, on a :
Ainsi, un tel vecteur x′ est unique ; il est appelé l’opposé de x et est noté − x.
Pour (x, y) ∈ E2, le vecteur x + (−y) est noté x − y.
Si (E, +, ·) est un ℂ-espace vectoriel, alors la restriction de la loi externe à IR × E confère à E une structure de IR-espace vectoriel. En effet, les propriétés portant sur la loi externe étant vérifiées pour (λ, μ) ∈ ℂ2, elles le sont a fortiori pour (λ, μ) ∈ IR2.Dans toute la suite de ce chapitre, on considère un IK-espace vectoriel (E, +, ·).Principe de démonstration.
Pour (i), partir de (0+0) · x = 0 · x et de λ · (0E + 0E) = λ · 0E.
Pour (ii), calculer λ · (−x) + λ · x et λ · x + (−λ) · x.Démonstration. Le sens réciproque est assuré par le point (i) de la proposition précédente. Montrons le sens direct…
Date de mise en ligne : 05/06/2025
Ce chapitre est en accès conditionnel
Acheter cet ouvrage
38,99 €