Cours 5. Vecteur position et base cartésienne

♦ Définition : Étant donné un repère d’origine O associé à un référentiel, on peut de manière équivalente repérer la position d’un point matériel M à l’aide de ses coordonnées (cartésiennes, cylindriques, etc.) ou du vecteur position \overrightarrow {OM} qui lui correspond.
♦ Définition : Le vecteur position, noté aussi \overrightarrow r , peut lui-même être caractérisé par ses composantes \left(r_1,\;r_2,\;r_3\right) dans une base (\overrightarrow {\mathop e\nolimits_1 } ,\overrightarrow {\mathop e\nolimits_2 ,} \overrightarrow {\mathop e\nolimits_3 } ), \overrightarrow r = \mathop r\nolimits_1 \overrightarrow {\mathop e\nolimits_1 } + \mathop r\nolimits_2 \overrightarrow {\mathop e\nolimits_2 } + \mathop r\nolimits_3 \overrightarrow {\mathop e\nolimits_3 }.
♦ Définition : Une base (\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2,}\overrightarrow{e_3}) est orthogonale quand les vecteurs dont elle est constituée sont orthogonaux deux à deux, et orthonormale ou orthonormée quand ils sont de plus unitaires (de norme égale à 1). Une base orthonormée peut en outre être directe, si elle vérifie la « règle du tire-bouchon » ou celle de « la main droite », et est indirecte dans le cas contraire.
♦ Propriété : Dans une base directe, on peut écrire {\overrightarrow e}_1\wedge{\overrightarrow{\mathrm e}}_2={\overrightarrow e}_3, une égalité qui reste vraie si on permute les 3 indices de manière circulaire : (2, 3, 1) ou (3, 1, 2).
♦ Définition : Quand les vecteurs d’une base sont choisis tangents aux lignes associées à un système de coordonnées, on dit qu’il s’agit de l…