Fiche 4. Éléments de mécanique analytique

Degrés de liberté d’un système Nombre de grandeurs indépendantes qu’il faut se donner pour déterminer de manière univoque la position du système.Coordonnées généralisées Les n grandeurs, q1, q2, … , qn, qui sont associées aux n degrés de liberté du système pour déterminer sa position. Elles ne sont pas nécessairement cartésiennes.Espace de configuration Espace de dimension n défini par q1, q2, … , qn.Vitesses généralisées Dérivées, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \ldots, \dot{q}_n, des positions généralisées.EXEMPLE. PARTICULE SE DÉPLAÇANT SOUS L’ACTION D’UNE FORCE
Puisque le principe fondamental de la dynamique, \vec{F}=m \vec{\gamma}, est une équation différentielle du second ordre par rapport au temps, la donnée simultanée de deux conditions initiales vectorielles est nécessaire afin de pouvoir déterminer sans équivoque les positions \vec{r}(t). Ce sont, par exemple, les valeurs à l’instant t = 0 de la position du mobile \vec{r}(0), et de sa vitesse \vec{v}(0).Lagrangien ou fonction de Lagrange Fonction caractéristique du système et notée \mathcal{L}(q, \dot{q}, t), elle est définie en termes des fonctions énergie cinétique E_c(\dot{q}) et énergie potentielle U(q, t) par :Pour une particule relativiste, l’expression de \mathcal{L} est plus subtile :Moments conjugués Quantités associées aux coordonnées généralisées, notées pi (i = 1, 2, … , n) et définies par :Remarques : p = mv
Le lien intime entre le moment conjugué et la vitesse généralisée apparaît évident pour un point matériel puisqu…